Fotón masivo en 2+12+12+1 dimensiones

He estado leyendo un poco sobre el Maxwell-Chern-Simons Lagrangian , un intento de crear un fotón masivo en$2+1$dimensiones.

$$\begin{align}\mathcal{L} &= -\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{m}{4} \epsilon_{\sigma\mu\nu}F^{\mu\nu}A^{\sigma}\\ &= -\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{m}{2} \epsilon_{\sigma\mu\nu} \partial^{~\mu}A^{\nu}A^{\sigma} \end{align}$$ La acción, pero no el Lagrangiano, es invariante de calibre (cambia por una derivada total). Derivé las ecuaciones de movimiento, $$\begin{align} \partial_{\mu}F^{\nu\mu}-m\epsilon^{\nu\mu\sigma}\partial_{\mu}A_{\sigma}=0 \end{align}$$ Si combinamos esto con la identidad de Bianchi y definimos un nuevo vector $~f^{\mu} = \frac12\epsilon^{\mu\nu\sigma}F_{\nu\sigma}$, se necesita un poco de álgebra para mostrar, $$(\partial^{~\mu}\partial_{\mu}+m^2)f^{\nu} = 0$$

Estoy realmente interesado en la cantidad de polarizaciones que puede tener este "fotón". El pequeño grupo debe ser$SO(2)$¿bien? entonces un$J_z$debe generar esto? Entonces, ¿una polarización? Me pregunto si hay un buen argumento para esto. ¿Quizás algo similar a como se hace en el caso normal usando el calibre Lorenz? Tenga en cuenta que la condición de calibre de Lorenz se cumple trivialmente de la identidad de Bianchi.