Tensor de energía-momento para electromagnetismo en espacio curvo

El tensor de impulso de energía se encuentra variando la métrica y manteniendo todos los demás campos constantes. ya que claramente

$$\frac{\partial F}{\partial g}=0\longleftrightarrow \delta_gF=0$$ terminamos con $$\delta_g S=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}v\,\left(F^2g_{\mu\nu}/4-F^\tau{}_\mu F_{\tau\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}$$ y comparación con $$\delta_gS:=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}v\,T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$$ conduce al resultado correcto.

Tenga en cuenta que lo que realmente estamos variando aquí es solo la acción de la materia. La acción relativista general completa contiene la acción gravitatoria de Einstein-Hilbert, el término de constante cosmológica y un término de materia. Juntos, tenemos

$$S_\mathrm{GR}=S_\mathrm{EH}+S_\Lambda+S_\mathrm{M}$$ Es cierto que la variación de esto se desvanece wrt. la métrica, es decir $\delta_g S_\mathrm{GR}=0$. Sin embargo, el tensor de energía-momento se calcula examinando solo $\delta_g S_\text{M}$, que generalmente no es cero.

El lagrangiano de Einstein-Hilbert acoplado a una acción de materia

$$S_m[\varphi,g] = \int d^Dx\, \sqrt{-g}\mathcal L_m(\varphi,\partial_\mu\varphi),$$ es decir $$S[g,\varphi] = \frac{1}{16\pi G}\int d^Dx\,\sqrt{-g} R + \int d^Dx\,\sqrt{-g} \mathcal L_m(\varphi,\partial_\mu\varphi),$$ satisface $$\delta S=-\frac{1}{16\pi G} \int d^Dx\, \sqrt{-g} \mathcal E^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} + \int d^Dx\, \sqrt{-g} \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\left( \sqrt{-g}\mathcal L_m\right)}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}$$ dónde $\mathcal E_{\mu\nu}$es el tensor de Einstein $R_{\mu\nu}-g_{\mu\nu}R/2$y por lo tanto definimos el tensor de energía-momento de Rosenfeld $$\boxed{ T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\left( \sqrt{-g}\mathcal L_m\right)}{\delta g_{\mu\nu}}= \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_m[\varphi, g]}{\delta g_{\mu\nu}}}$$ conseguir $$dS=-\frac{1}{16\pi G}\int d^Dx\,\sqrt{-g}\left(\mathcal E^{\mu\nu}- 8\pi G T^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}.$$ La acción de un vector sin masa. $A_\mu$, dónde $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=\nabla_\mu A_\nu-\nabla\nu A_\mu$, Se puede escribir como $$\begin{align*} S_m =&\ -\frac{1}{4}\int d^Dx\, \sqrt{-g}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = -\frac{1}{2} \int d^Dx\, \sqrt{-g} A_\mu \left(-g^{\mu\nu}\Box+\nabla^{\nu}\nabla^\mu\right)A_\nu. \end{align*}$$ Entonces las ecuaciones de movimiento para $A_\mu$son $$\left(-g^{\mu\nu}\Box+\nabla^{\nu}\nabla^\mu\right)A_\nu=0.$$ El tensor energía-momento es más fácil de expresar a partir de la primera forma de la acción: $$\delta S_m = - \frac{1}{4}\int d^Dx\, \frac{1}{2} \sqrt{-g} g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta} +\frac{1}{2}\int d^Dx\, \sqrt{-g} F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}g^{\mu\alpha}g^{\nu\sigma} g^{\beta\tau}\delta g_{\sigma\tau}$$ a partir del cual $$\boxed{ T^{\mu\nu} = F^{\alpha\mu} F^{\beta\nu}g_{\alpha\beta}-\frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}}=F^{\alpha\mu} F^{\beta\nu}g_{\alpha\beta}+g^{\mu\nu} \mathcal L_m,$$ y las ecuaciones de Einstein $$R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R+\Lambda g^{\mu\nu} =8\pi G T^{\mu\nu}.$$