Ecuación radial de Schrödinger con potencial de ley de potencia inversa

Lo que muestran en el papel es que, para$\beta>2$, no hay soluciones con la forma asintótica dada como$r\to 0$a menos que asumamos$\alpha>0$. Creo que puede ir más allá y mostrar que no hay soluciones no singulares para$\beta>2,\alpha<0$, pero no estoy seguro.

¿Qué significa esto físicamente? Bueno, cuando tenemos un potencial con una singularidad, generalmente lo consideramos como una aproximación que se descompone lo suficientemente cerca de la singularidad. Por ejemplo, modelamos el átomo de hidrógeno con un potencial$V\propto r^{-1}$, pero realmente el potencial cercano$r=0$no llega al infinito, debido al tamaño distinto de cero del núcleo. Nos salimos con la nuestra usando el potencial singular porque el "mal" comportamiento en$r=0$no cambia cualitativamente las soluciones. (Y, por supuesto, la gente corrige los efectos de tamaño nuclear distinto de cero en la física atómica).

Si es cierto que el estado fundamental de la ecuación de Schrödinger es singular para potenciales de la forma dada ($\alpha<0,\beta> 2$), lo que eso significa es que este procedimiento no funciona. Para ser específico, suponga que resolvió la ecuación de Schrödinger para un potencial que se parece al dado hasta algún "corte".$r_0$, y es constante para los más pequeños$r$. Lo que encontraría es que la solución no tiende a algún límite como$r_0\to 0$-- la solución depende cualitativamente del tamaño de ese límite, por pequeño que sea.

Para responder a su última pregunta, para cualquier potencial repulsivo ($\alpha,\beta>0$), espera encontrar solo estados continuos (no enlazados). Esos estados tienen$E>0$, y todos los valores positivos de$E$están permitidos. Entonces, si intenta resolver numéricamente el estado fundamental, no me sorprende que parezca obtener cero.

Adición : después de la discusión en los comentarios, se me ocurre que podemos ver por qué el caso$\beta=2$se comporta como lo hace. La ecuación de Schrödinger en ese caso es

$$-{1\over 2}\nabla^2\psi + {\alpha\over r^2}\psi=E\psi.$$ Suponga que ha encontrado una solución de estado ligado $\psi_0$correspondiente a alguna energía $E_0<0$. Defina una nueva solución simplemente escalando la coordenada radial: $$\psi_1(r)=\psi_0(cr)$$ para cualquier $c>0$. Entonces $\psi_1$es también una solución a la ecuación de Schrödinger, con energía $E_1=c^2E_0$. En particular, para $c>1$esto corresponde a comprimir la función de onda en un espacio más pequeño y hacer que la energía sea más negativa. Si trata de encontrar la solución de energía más baja, terminará con la $c\to\infty$caso -- una función de onda infinitamente concentrada, con energía $-\infty$.

Si intenta el procedimiento que sugiero en mi último comentario (cortar la singularidad en el potencial en algún$r_0$y luego variando$r_0$), ocurre algo similar. La solución del estado fundamental para todos los positivos.$r_0$se ven iguales, con coordenadas radiales escaladas por el valor de$r_0$, y la energía del estado fundamental es como$r_0^2$. Como$r_0\to 0$, los enfoques de energía del estado fundamental$-\infty$, y la función de onda se concentra infinitamente en$r=0$.

Esto solo funciona para el caso.$\beta=2$, porque para este valor de$\beta$tanto el término cinético como el potencial en el lado izquierdo de la ecuación de Schrödinger se escalan de la misma manera cuando cambias la escala de tus coordenadas (es decir, ambos van como$c^2$). Otra forma de decirlo: sólo en el caso$\beta=2$es la constante$\alpha$adimensional para cualquier otro$\beta$, El valor de$\alpha$determina una escala de longitud (para que no pueda simplemente cambiar la escala de una solución para obtener una nueva), pero cuando$\beta=2$el problema es de escala invariante.

Esto está abordando las preguntas de NGY en el comentario (y siguiendo mi propio comentario). Suponer$\phi(r) \sim r^n$para$r \sim 0$.

• Para$\beta < 2$el término derivado vence al término potencial y obtenemos que alrededor del origen la solución debe (hasta los términos de orden superior) comportarse como

  $$n(n-1)r^{n-2} \sim 0$$ lo que pasa por$n > 2$y$n=1$. Tenga en cuenta que si la solución fuera exactamente$n=1$(términos de orden superior incluidos) entonces el término derivado se desvanecería de manera idéntica y la ecuación no se cumpliría para$\beta \leq 1$. Como nota al margen, recuerde que también hay soluciones ligadas que divergen para$r \to 0$pero aún pueden ser normalizables, ya que la normalización viene dada por una integral sobre todo el espacio y la contribución de la esfera$S^{d-1}$puede vencer la divergencia de$\left | \phi(r)^2 \right |$.

• Para$\beta = 2$vemos eso$n(n-1) r^{n-2} \sim \alpha 2 r^{n-2}$Insinuando$n=-1$para$\alpha = 1$y$n=2$para$\alpha = -1$.

• Para$\beta > 2$el término potencial gana a la derivada y obtenemos$r^{n-\beta} = 0$. Que es satisfacible para cualquier$n > \beta$pero entonces la solución tendrá que anularse idénticamente en todos los órdenes para satisfacer la ecuación (ya que la derivada, el potencial y la energía tendrán todos diferentes órdenes).

Sin embargo, para comprender cómo se comporta la energía, debemos pasar a órdenes superiores.

por ejemplo para$\beta = 1$y$n=1$tenemos

$$\phi(r) = ar + br^2 + cr^3 + o(r^3).$$ Reemplazando esto en la ecuación obtenemos $$-b - 3cr + \alpha (a + br) = E a r + o(r)$$ y entonces $b = \alpha a$y $E = -3c/a + \alpha^2$.

Para$\beta = 2$,$\alpha = -1$y$n=2$tenemos

$$\phi(r) = ar^2 + br^3 + cr^4 + o(r^4)$$ y consecuentemente $$a + 3br + 12cr^2 - (a + br + cr^2) = Ear^2 + o(r^2)$$ Lo que significa que $b = 0$y $E = 11c/a$.

Si asumimos además que$c/a$es negativo, esto daría una respuesta a su pregunta. Desafortunadamente, no tengo idea de por qué esto debería ser cierto. ¿Alguien puede confirmar o refutar esto?