¿Por qué los vectores reticulares recíprocos son periódicos y el tiempo-frecuencia no?

Intento darte una razón intuitiva para esto:

• Como ya se ha dicho en los comentarios, la DFT de tiempo-frecuencia de una señal también está limitada en términos de la frecuencia máxima que se puede medir/reconstruir con precisión. Esta limitación se deriva de la frecuencia de muestreo de su hardware. Por lo tanto, no es una limitación fundamental, sino que simplemente la impone usted mismo sobre sus mediciones (por ejemplo, podría gastar más dinero y obtener un mejor hardware con una frecuencia de muestreo más alta). Así que aquí el "espaciamiento de los puntos de muestreo" es relevante.

Ahora viene la parte de la física del estado sólido:

• La periodicidad del espacio r proviene de la naturaleza, ya que ella decidió crear cristales tal como son. Tienes diferentes periodicidades dadas por la celda de Wigner-Seitz de la red, que no es nada diferente a una celda de Voronoi. Si pasa por encima de su borde, el espacio se ve igual que en la celda anterior, visto desde su lado opuesto. Usted "alias" de un lado a otro en el espacio real.

• La periodicidad del vector espacial k proviene ahora del hecho de que la red periódica del espacio se convierte en una red periódica en el espacio recíproco mediante la transformación de Fourier, es decir, el espacio k. La celda allí se llama zona de Brillouin , que de nuevo no es nada diferente a una celda de Voronoi en el espacio k. Si pasa por encima de su borde con su frecuencia de espacio k, la reacción del cristal se ve igual que si le impusiera una frecuencia de espacio k desde el otro lado de la zona de Brillouin. Una vez más obtienes el efecto de aliasing.

Hay una forma sencilla e intuitiva de sentir el$k$-periodicidad si piensas en términos de longitudes de onda. Debido a que la red del espacio real es discreta y no continua en el espacio, dos longitudes de onda pueden ser diferentes pero llevar exactamente la misma información física. Puedes verlo en esta imagen: mientras que las longitudes de onda rojas y negras son claramente diferentes, los átomos negros no pueden distinguir entre los dos. Por lo tanto, existe una periodicidad en términos de$\lambda$, lo que produce una periodicidad en$k$-espacio.

Espero que a partir de este razonamiento tengas una comprensión más intuitiva de lo que está pasando. Ciertamente, todas las afirmaciones se pueden convertir en ecuaciones matemáticas más o menos bellas, pero no las encuentro muy didácticas para esta pregunta en particular.

El espacio recíproco tiene una estructura periódica solo si el potencial del espacio real también es periódico. Esto se debe al teorema de Bloch : si tiene un hamiltoniano periódico, por ejemplo

$$\hat H=\hat T+V(\hat x)=\hat T+V(\hat x+a),$$ entonces se le garantiza una base propia de funciones de la forma $$\psi(x)=e^{ikx}u(x),$$ dónde $u(x)=u(x+a)$es periódico. En este caso, $k$es el quasimomentum del estado, y puede (solamente) ser extraído de $\psi$a través de su valor propio bajo una traducción por $a$, cual es $e^{ika}$; como tal, sólo se define hasta un múltiplo de $2\pi/a$, es decir, cuasimomentos separados por $2\pi n/a$son equivalentes.

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Algo exactamente análogo sucede si tiene un hamiltoniano que es periódico en el tiempo , por ejemplo, algo de la forma

$$\hat H=\hat T+V(t)=\hat T+V(t+T).$$ Aquí sabes que si $|\psi(t)⟩$es una solución de la ecuación de Schrödinger, entonces $|\psi(t+T)⟩$también debe ser uno, por lo que la traducción del tiempo es una simetría del sistema y podemos esperar soluciones de la forma $$|\psi(t)⟩=e^{i\varepsilon t}|\varphi(t)⟩ \tag 1$$ dónde $|\varphi(t)⟩$. Como en el caso del espacio-periódico, la fase $e^{i\varepsilon t}$se requiere porque una traducción de tiempo por $T$debe darle un estado equivalente, pero eso solo significa igual hasta una fase y no necesariamente exactamente igual.

los estados en$(1)$se conocen como estados de Floquet, y son estudiados por la teoría de Floquet, que está bien establecida pero para la cual los recursos introductorios son relativamente escasos. Cada estado Floquet tiene una cuasienergía$\varepsilon$, y estos tienen de hecho las mismas propiedades de periodicidad que los momentos cristalinos; en particular, cambiando$\varepsilon$a$\varepsilon +n \omega$producirá un estado de la misma forma, ya que$e^{in\omega t}|\varphi(t)⟩$también es periódico.

Además, también tiene garantizada una base de soluciones TDSE de forma Floquet, aunque aquí necesita ir un poco más allá del funcionamiento del caso espacial (donde es suficiente para mostrar que$[\hat H,e^{ia\hat p}]=0$), tomando el Floquet hamiltoniano

$$\hat H_F=\hat H-i\frac{\partial}{\partial t}$$ en un espacio de Hilbert expandido $\mathscr H$dado por el producto tensorial del espacio de Hilbert original $\mathcal H$y el espacio de funciones periódicas en $[0,T]$; Las soluciones Floquet TDSE luego se mapean en estados propios de $\hat H_F$y puedes usar su base propia.