Operador de momento en aproximación de masa efectiva

Si estoy entendiendo tu pregunta correctamente, entonces la respuesta es que en realidad no puedes justificar la conexión de tus ecuaciones a lo largo de la dirección cuantificada. De hecho, las "bandas" en la dirección perpendicular a su losa van a ser completamente planas, lo que corresponde a una masa efectiva infinita en esa dirección. (El infinito proviene de la suposición de que los electrones están confinados, de modo que ninguna cantidad de energía/fuerza perpendicular a la losa generará movimiento/cantidad de movimiento en esa dirección).

Entonces podría estar preocupado de que$m^*$ser infinito destruirá otras cosas, pero si resuelve la derivación de la masa efectiva en detalle, verá que la masa efectiva es en realidad un tensor :

$$M_{ij} = \left[ \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E(\vec{k})}{\partial k_i \partial k_j} \right]^{-1}$$ dónde $i,j = x,y$, o $z$, lo que significa que la masa puede ser (y con frecuencia lo es) muy diferente en diferentes direcciones. Tiene la suerte de estar trabajando en una geometría altamente simétrica donde sus direcciones confinadas y desconfinadas son perpendiculares y desacopladas. Eso significa que puedes tomar $m^*$para denotar la masa efectiva en el plano que surge de la estructura de banda 2D (que a su vez depende de la estructura del cristal, etc.) y tratar la dirección fuera del plano como "desnuda" (es decir , $m^*=m_e$) electrón en cualquier estructura de pozo cuántico de confinamiento 1D que tenga.