Una comprensión básica de Navier-Stokes, o el problema del "agua explosiva" de Terry Tao

El artículo del New York Times Magazine del 24 de julio de 2015 The Singular Mind of Terry Tao comienza con:

Este abril, mientras los estudiantes paseaban por la calle frente a su modesta oficina en el campus de la Universidad de California, Los Ángeles, el matemático Terence Tao reflexionó sobre la posibilidad de que el agua pudiera explotar espontáneamente. Un conjunto de ecuaciones ampliamente utilizado describe el comportamiento de los fluidos como el agua, pero parece que no hay nada en esas ecuaciones, me dijo, que impida que un remolino descarriado se vuelva repentinamente sobre sí mismo, apretándose en un giro furioso, hasta que la densidad de la energía en su núcleo se vuelve infinita: una "singularidad" catastrófica. Alguien que arroje un centavo a la fuente del centro de profesores o que salte una piedra en la playa de Santa Mónica aparentemente podría desencadenar una reacción en cadena que acabaría con el sur de California.

¿Hay alguna manera de plantear el problema descrito en términos de física y matemáticas de nivel universitario? No me refiero a por qué el agua real realmente no explota necesariamente, me refiero a cuál es el problema matemático.

¿Está esto relacionado con el problema del Premio del Milenio Navier-Stokes Existencia y Suavidad ?

Editar: según los comentarios útiles, volví y miré el artículo de la revista NYTimes nuevamente y encontré esto, que es ilustrativo:

Imagínese, dijo, que alguien terriblemente inteligente pudiera construir una máquina con agua pura. No se construiría con varillas y engranajes, sino con un patrón de corrientes que interactúan. Mientras hablaba, Tao tallaba formas en el aire con sus manos, como un mago. Ahora imagine, continuó, que esta máquina pudiera hacer una copia más pequeña y más rápida de sí misma, que luego podría hacer otra, y así sucesivamente, hasta que una "tiene una velocidad infinita en un espacio diminuto y explota". Tao no proponía construir una máquina de este tipo: "¡No sé cómo!", dijo riendo. Era simplemente un experimento mental, del tipo que usó Einstein para desarrollar la teoría de la relatividad especial. Pero, explicó Tao, si puede demostrar matemáticamente que no hay nada, en principio, que impida que un artilugio tan diabólico funcione, entonces eso significaría que el agua puede, de hecho, explotar.

Hubo un buen desarrollo recientemente donde ∫ a b F = ( b − a ) a v F ( a , b ) proporcionaría la versión de integración de la teoría de categorías a través de una función de promedio simple y una multiplicación. Esto se extendería fácilmente a Navier-Stokes, pero no sé si produce algo mejor que una solución numérica, y la descripción del problema del premio del milenio dice que la solución numérica muestra una explosión...
No leí todos los detalles en el documento, pero en términos generales, Terry Tao considera una versión modificada de Navier-Stokes y prueba que para estas ecuaciones existen datos iniciales que conducen a una explosión de tiempo finito, es decir, a la formación de una singularidad en tiempo finito. Esto está relacionado con el problema de Navier-Stokes Millenium (aunque es una versión modificada de Navier-Stokes). Dicho esto, ¡su enfoque en el artículo es muy original!
Esto es todo sobre el problema del milenio, sí. Es solo una cuestión de comenzar con datos iniciales "buenos", ¿obtienes datos "malos" más tarde? Y el problema es que ninguna de las técnicas que tenemos para mostrar que la "bondad" se conserva en el tiempo (que son aplicables en muchas PDE de evolución) se aplican a Navier-Stokes en particular. Además, Tao mostró recientemente que Navier-Stokes está, en el mejor de los casos, "justo en la cúspide" del desarrollo de singularidades, ya que una modificación relativamente modesta de él desarrolla singularidades.
En cuanto a por qué el agua no explota; incluso si las ecuaciones tienen la posibilidad de una explosión, se sabe que esto requeriría condiciones iniciales muy especiales que probablemente serían imposibles de generar en la naturaleza. Otra cosa es que en la naturaleza estas ecuaciones son solo una aproximación en ciertos regímenes por lo que una explosión matemática no implica necesariamente una explosión física.
@Ian ¿Hay alguna forma de describir aproximadamente dichas condiciones iniciales más allá de simplemente "improbable/imposible"? Supongo que es algo más que meter el dedo y girarlo un poco. O, si hay documentos o preprints donde uno podría buscar, incluso si son avanzados, se agradecería un enlace o dos. ¡Gracias!
Si mal no recuerdo, están cuidadosamente configurados para el movimiento de vórtice para mover energía repetidamente desde escalas de longitud larga a escalas de longitud sucesivamente más cortas.
@Ian Gracias, ese es exactamente el tipo de respuesta que esperaba, por favor considere publicar como tal. También me recordó algo en el artículo original. Lo agregué en una edición, pero usted (o cualquier persona) podría trasplantarlo a una respuesta si corresponde.
¿Ha leído la publicación de blog de Tao sobre la expansión de tiempo finito para una versión promediada de NSE? Hay una explicación más matemática y aún accesible (especialmente al final).
@MichałMiśkiewicz Sabía que tenía un blog, pero no conocía mi camino. Tienes razón, creo que la publicación es mucho más accesible que la preimpresión de ArXiv vinculada. ¡Gracias por su ayuda!

Respuestas (1)

La idea de Tao es establecer datos iniciales que muevan energía sucesivamente desde escalas de mayor longitud a escalas de menor longitud mediante la construcción de vórtices más pequeños y rápidos. Como en la cita del NYT, es un poco como una máquina que construye una pequeña copia de sí misma y luego se disipa, y luego la copia crea una copia aún más pequeña de sí misma y luego se disipa, etc. Este proceso se acelera lo suficientemente rápido como para que, aproximadamente Hablando, después de solo una cantidad finita de tiempo, la máquina ya no tiene tamaño. En el Navier-Stokes modificado utilizado en su artículo reciente, esta construcción en realidad pasa y conduce a una explosión de tiempo finito.

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