Aplicaciones de Operadores Pseudodiferenciales

Hay algunas referencias para sus intereses:

• Rodino, Wong, Zhu (eds.) - Operadores pseudodiferenciales: análisis, aplicaciones y cálculos ,
• Rodino, Schulze, Wong - Operadores pseudodiferenciales: ecuaciones diferenciales parciales y análisis de tiempo-frecuencia ,
• Rodino, Wong (eds.) - Nuevos desarrollos en operadores pseudodiferenciales ,
• Boggiatto, Rodino, Toft, Wong (eds.) - Operadores pseudodiferenciales y temas relacionados ,
• Toft, Wong, Zhu (eds.) - Tendencias modernas en operadores pseudodiferenciales ,
• Avantaggiati (ed.) - Operadores pseudodiferenciales con aplicaciones ,
• Feichtinger, Helffer, Lamoureux, Lerner, Toft - Operadores Pseudodiferenciales: Cuantización y Señales .

En particular, hay una revista completamente nueva (desde 2010) sobre esto:

• Revista de operadores y aplicaciones pseudodiferenciales , Springer.

Existen usos y aplicaciones específicos de tales operadores, pero la mayoría se relacionan con aspectos teóricos de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales (como asintóticas o PDE estocásticas). Desde el punto de vista de la Física, su papel también es principalmente teórico, como su uso para construir ecuaciones relativistas (debido a su importancia para los operadores de tipo Dirac, su uso en los teoremas del índice y del núcleo de calor, lea más abajo), para intentar resolver ecuaciones con operadores diferenciales con exponentes fraccionarios, y para el estudio del análisis microlocal en procedimientos de cuantificación. Pero ha habido una investigación muy activa sobre aplicaciones más mundanas como el análisis de inestabilidades hidrodinámicas y otros problemas con operadores no autoadjuntos en física aplicada donde su pseudo-espectro juega un papel importante; también parecen formar una buena base para nuevas técnicas numéricas utilizadas en el análisis y simulación de sistemas físicos como la propagación de ondas, imágenes médicas, procesamiento de señales, desconvolución de señales sísmicas y extrapolaciones de campos de ondas en geofísica. Controlaresta respuesta en MO por un poco más.

Además de aquellas aplicaciones más científicas/ingenieriles, los operadores pseudodiferenciales tienen su aplicación teórica más importante en las matemáticas puras como los objetos esenciales del teorema del índice de Atiyah-Singer , uno de los resultados más notables del siglo pasado. Da el índice de Fredholm de un operador diferencial elíptico (o la característica de Euler-Poicaré de una secuencia compleja de ellos) que actúa sobre secciones uniformes de paquetes vectoriales en una variedad compacta en términos de datos puramente topológicos en forma de clases caracteríticas de los paquetes. . Básicamente, usted está interesado en el número de soluciones independientes a las ecuaciones diferenciales parciales homogéneas dadas por$\operatorname{D}\phi=0$dónde$\operatorname{D}:E\rightarrow F$es un operador diferencial elíptico que toma "campos vectoriales suaves globales"$\phi$de un haz vectorial complejo$E$en campos de otro paquete vectorial$F$, sobre una variedad compacta$M$(¡Esta es una de las situaciones más generales para ecuaciones diferenciales parciales sobre un espacio arbitrario!). En general, un número invariante tan importante de soluciones no es fácil de calcular, pero para variedades compactas y operadores elípticos es un número finito, y el índice de Fredholm se define como

$$\operatorname{Ind}\,\operatorname{D}:=\dim \ker \operatorname{D}-\dim \operatorname{coker}\operatorname{D}=\dim \ker \operatorname{D}-\dim \ker \operatorname{D^†}$$ es decir, el número de soluciones independientes de la ecuación homogénea $\operatorname{D}\phi=0$menos el número correspondiente de soluciones para la ecuación adjunta compleja $\operatorname{D^†}\phi=0$; esto es más fácil de manejar y se puede calcular mediante el notable teorema del índice de Atiyah-Singer: $$\operatorname{Ind D}=(-1)^{\dim M}\langle\operatorname{ch}(\sigma \,(\operatorname{D}))\smile\operatorname{Td}(TM\otimes\mathbb C),[TM]\rangle\;.$$ El lado derecho es el índice topológico del operador (o secuencia compleja de operadores), dado en términos de la clase característica de Todd del haz tangente complejo de la variedad y el carácter de Chern del símbolo de clase . $\sigma\,(\operatorname{D})$del operador diferencial elíptico, que son todas construcciones puramente topológicas sobre $M$. Puede calcular las clases características en la cohomología de De Rham para integrar la parte de mayor orden de su producto sobre la variedad de paquetes tangentes y, en la mayoría de los casos, cuando la clase de Euler no es ni cero ni un divisor de cero, la fórmula del índice se puede simplificar por integrando sobre las fibras a una integral sobre la variedad base: $$\operatorname{Ind D}=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\int_{M}\operatorname{ch}(E-F)\wedge\frac{\operatorname{Td}(TM\otimes\mathbb C)}{e(TX)}\lvert_{\text{vol}}\;.$$ ¡Los operadores pseudodiferenciales son fundamentales, ya que el teorema es realmente válido y está demostrado para ellos! Su papel aparece en relación con la clase de símbolo de los operadores diferenciales en la teoría K topológica : $\sigma\,(\operatorname{D})\in K_0(TM)$, (aunque son tan fundamentales en la versión de núcleo de calor de la prueba, solo discutiré el enfoque original). La razon es la siguiente. Dado que el índice topológico $B$(el lhs de la fórmula) es una cantidad puramente topológica que depende de paquetes de vectores sobre $TM$, se define fácilmente como un homomorfismo de la $K$-teoria del grupo de la variedad a los enteros, es decir $B:K_0(TM)\rightarrow\mathbb Z$; el anillo $K_0(TM)$se define de varias maneras equivalentes, por ejemplo, el grupo abeliano libre generado por paquetes de vectores con la relación de identificación $[E]+[F]=[E\oplus F]$y convertido en un anillo con producto el producto tensorial. Ahora, $B([a])$se define de manera axiomática, satisfaciendo ciertas propiedades agradables, y luego demostró ser la evaluación cohomológica dada por la lhs de las fórmulas anteriores (poniendo $[a]$en lugar de $\sigma\,(\operatorname{D})$). Dado que a cualquier operador diferencial elíptico se le puede asignar un número entero mediante el índice de Fredholm $\operatorname{Ind: D}\rightarrow\mathbb Z$, y también su clase de símbolo $\sigma\,(\operatorname{D})\in K_0(TM)$, es natural intentar calcular el primero en términos de $B(\sigma\,(\operatorname{D}))$. La clase de símbolo de un operador diferencial elíptico $\operatorname{D}:E\rightarrow F$tiene una motivación profunda (en la que no voy a entrar) para ser definida como $\sigma\,(\operatorname{D}):=[E]-[F]$. Entonces, la fórmula del índice de Atiyah-Singer equivale a demostrar que: $$\operatorname{Ind D}=B(\sigma\,(\operatorname{D})).$$ Para establecer esa fórmula, uno necesita encontrar un inverso a $\sigma:\{\text{Ell. Diff. Operators}\}\rightarrow K_0(TM)$, de modo que $B=\operatorname{Ind}\circ\,\sigma^{-1}$, por lo que la pregunta es: dado cualquier$[a]\in K_0(TM)$, se puede construir un operador diferencial elíptico$\operatorname D\in\sigma^{-1}([a])$cuyo símbolo es$[a]$? La respuesta resulta ser "no" si nos restringimos a operadores diferenciales parciales, por lo tanto, un conjunto más grande de operadores en $M$se requiere, y resulta que el conjunto de operadores pseudodiferenciales elípticos en $M$está de hecho en correspondencia biyectiva con los objetos de la teoría K de $TM$: cualquier clase de paquete vectorial en $K_0(TM)$proviene del símbolo de un operador pseudodiferencial adecuado en $M$! Mostrar esto es uno de los pasos principales en la prueba de Atiyah-Singer, ya que uno tiene que construir un operador tan adecuado $\operatorname{D}_{[a]}$para cualquier $[a]$y verifique que cualquiera de estos operadores tenga el mismo índice analítico de Fredholm, es decir $\operatorname{Ind D}=\operatorname{Ind D'}$si $[a]=\sigma\,(\operatorname{D})=\sigma\,(\operatorname{D'})$. El último paso de la prueba es mostrar que $\operatorname{Ind}\circ\,\sigma^{-1}$satisface las agradables propiedades axiomáticas del índice topológico, que lo caracterizan de manera única, de modo que $\operatorname{Ind}\circ\,\sigma^{-1}$tiene que ser $B$. Esto solo se puede hacer usando operadores pseudodiferenciales, aunque nuestro interés final es calcular los índices de los operadores diferenciales elípticos (las consecuencias de Atiyah-Singer son teoremas como Chern-Gauß-Bonnet para los operadores diferenciales del complejo de Rham , Hirzebruch-Riemann-Roch para el complejo diferencial de Dolbeault , la firma de Hirzebruch para el complejo de Hodge , Atiyah-Patodi sobre los operadores de Dirac, el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott , etc...).

Si desea detalles sobre los operadores pseudodiferenciales y su papel en la prueba de Atiyah-Singer, puede consultar las excelentes notas disponibles gratuitamente en:

• Gregory D. Landweber - Teoría K y operadores elípticos .
• Catarina Carvalho - Notas sobre el teorema del índice de Atiyah-Singer ,
• Thierry Fack - Teoremas de índice y topología no conmutativa ,
• Higson; Roe : conferencias sobre la teoría del operador K y el teorema del índice de Atiyah-Singer .

Esas referencias enfatizan la importancia y los usos de los operadores pseudodiferenciales en el$K$-teoria de$C^\ast$-álgebras, por lo tanto en geometría no conmutativa y topología (¡pero con aplicaciones a la geometría ordinaria!). También puede encontrar una gran cantidad de material maravilloso sobre el análisis de operadores pseudodiferenciales y sus aplicaciones en las notas de:

• Richard Melrose - Conferencias sobre operadores pseudodiferenciales ,
• Liviu Nicolaescu - Operadores y aplicaciones pseudodiferenciales ,
• Liviu Nicolaescu - Notas sobre el teorema del índice de Atiyah-Singer .

Hay una extensa discusión didáctica de operadores pseudodiferenciales en variedades y su uso en teoremas de índice, y cómo todo eso tiene aplicaciones a las teorías cuánticas de campos y la física matemática en general, en los libros:

• Charles Nash - Topología diferencial y teoría cuántica de campos .
• más negro; Boos - Topología y análisis: la fórmula del índice de Atiyah-Singer y la física teórica de calibre .
• bleeker; Booß-Bavnbek - Teoría de índices con aplicaciones a las matemáticas y la física . (¡NUEVO! ¡Excelente análisis de operadores y teoremas de índice con aplicaciones!)

Sé que respondí un poco tarde a esta publicación, pero si aún está interesado en algunas aplicaciones de operadores pseudodiferenciales, tengo un par de sugerencias (aunque no son aplicaciones físicas). Los PDO se pueden aplicar a problemas financieros (por ejemplo, fijación de precios de opciones). Puede consultar el libro Teoría no gaussiana de Merton-Black-Scholes de Svetlana Boyarchenko y Sergei Levendorskii. El libro se enfoca principalmente en la fijación de precios de opciones bajo Procesos Regulares de Exacción de tipo Exponencial y utiliza PDO para resolver los problemas de valor límite relevantes. Los mismos autores también escribieron un artículo titulado "Opciones estadounidenses perpetuas bajo procesos de gravamen" que creo que hace algún uso de las PDO. Fue publicado en Siam Journal of Control and Optimization, vol. 40, núm. 6, págs. 1663-1696.

Editar: También podría estar interesado en un conjunto de notas de conferencias de Mark Joshi. Creo que hacia el final se cubre una aplicación a la geometría diferencial (Teorema de Hodge).