¿Ecuaciones funcionales vs diferenciales?

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¿Ecuaciones funcionales vs diferenciales?

Matemáticas
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ecuaciones diferenciales parciales

más anónimo

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Tengo la impresión de que una ecuación diferencial tiene una localidad integrada (por eso los vemos más en física). Sin embargo, si quisiera escribir algo no local, usaría una ecuación funcional. Soy consciente de que hay casos en los que la ecuación diferencial también tiene una forma de ecuación funcional.

Pregunta

¿Es cierta mi suposición inicial: "la ecuación diferencial tiene la localidad conectada"?
¿La cardinalidad del conjunto de ecuaciones funcionales es mayor que la de las ecuaciones diferenciales?
¿Existe alguna ecuación funcional que no tenga una ecuación diferencial equivalente?
¿Existe alguna ecuación diferencial que no tenga una ecuación funcional equivalente?

Advertencia

Si bien las diferentes teorías de la física tienen diferentes definiciones de localidad (por ejemplo, la localidad de campana en la mecánica cuántica y la microcausalidad en QFT), todas están de acuerdo en que no se puede enviar información ( mensaje no aleatorio) del punto A al punto B sin un mediador (que es lo que entiendo por localidad en lo anterior en lo anterior).

rana globo ocular

¿Por qué no los dos?

más anónimo

En física, al menos entre las leyes fundamentales, no he visto una ecuación diferencial funcional (todavía).

Dayton

La ecuación del calor tiene una velocidad infinita de propagación. Si toma datos iniciales

u^{i n} (x)

$u^{in}(x)$ tal que

u^{i n} (x) > 0

$u^{in}(x)>0$ para

| x | < R

$|x| <R$ y

u^{i n} (x) = 0

$u^{in}(x) = 0$ para

| x | \geq R

$|x|\geq R$ , entonces la solución

e^{t Δ} u^{i n} = u (t, x) > 0

$e^{t\Delta}u^{in} = u(t,x) > 0$ para todos

x \in R^{n}

$x\in\mathbb{R}^n$ y

t > 0

$t>0$ . Entonces, en este sentido, es "no local".

más anónimo

Lo siento, ¿puedes dar un enlace? ¿Y está seguro de que viola: "no se puede enviar información (mensaje no aleatorio) del punto A al punto B sin un mediador"

Dayton

No digo que esto sea "físico", ya que es simplemente un modelo. Sin embargo, esto es lo que nos dicen las matemáticas. Puede ver la solución aquí en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation . De hecho

tu (t, X) = (Φ * {tu}^{i norte}) (t, X) = \frac{1}{(4 π t)^{norte / 2}} {mi}^{\frac{- | X |^{2}}{4 t}} * {tu}^{i norte} (X)

$u(t,x) = (\Phi * u^{in})(t,x) = \frac{1}{(4\pi t)^{{n/2}}}e^{\frac{-|x|^2}{4t}}*u^{in}(x)$

Respuestas (1)

¿Ecuaciones funcionales vs diferenciales?

En física, al menos entre las leyes fundamentales, no he visto una ecuación diferencial funcional (todavía).
La ecuación del calor tiene una velocidad infinita de propagación. Si toma datos iniciales $u^{in}(x)$ tal que $u^{in}(x)>0$ para $|x| <R$ y $u^{in}(x) = 0$ para $|x|\geq R$ , entonces la solución $e^{t\Delta}u^{in} = u(t,x) > 0$ para todos $x\in\mathbb{R}^n$ y $t>0$ . Entonces, en este sentido, es "no local".
Lo siento, ¿puedes dar un enlace? ¿Y está seguro de que viola: "no se puede enviar información (mensaje no aleatorio) del punto A al punto B sin un mediador"
No digo que esto sea "físico", ya que es simplemente un modelo. Sin embargo, esto es lo que nos dicen las matemáticas. Puede ver la solución aquí en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation . De hecho $tu (t, X) = (Φ * {tu}^{i norte}) (t, X) = \frac{1}{(4 π t)^{norte / 2}} {mi}^{\frac{- | X |^{2}}{4 t}} * {tu}^{i norte} (X)$ $u(t,x) = (\Phi * u^{in})(t,x) = \frac{1}{(4\pi t)^{{n/2}}}e^{\frac{-|x|^2}{4t}}*u^{in}(x)$

marca fischler · Answer 1

Las ecuaciones funcionales incluyen las ecuaciones diferenciales usuales como una subclase especializada.

Una de mis ecuaciones funcionales favoritas es

y = F (X) y^{'} = pecado (F (y)

$y=f(x)\\ y' = \sin(f(y)$ Está claro que

f (x) = n π

$f(x) = n\pi$ para cualquier entero

n

$n$ es una solución; es mucho menos claro si existen otras soluciones. Esta ecuación no tiene equivalente de ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales solo tienen localidad incorporada si está considerando la clase de problemas de valor inicial bien planteados. Los problemas de valores de contorno no necesariamente exhiben localidad (aunque supongo que eso es una trampa porque la condición de contorno en sí misma es un asunto no local). Por lo tanto, algunas de las ecuaciones más importantes de la física, incluida la ecuación de Schroedinger de estado estacionario en coordenadas esféricas o cilíndricas, no son locales cuando la función de onda se considera como una función del ángulo alrededor de algún eje.

Entre las ecuaciones funcionales (que cuando no son triviales a menudo son imposiblemente difíciles de trabajar) y las ecuaciones diferenciales (que a menudo pueden ser atacadas por la teoría de la perturbación y una serie de otras herramientas geniales), ofrezco ecuaciones diferenciales en diferencias. Por ejemplo, para alguna curva de valor inicial dada $P(t) : [0,1) \mapsto \Bbb{R}$ y algún valor de velocidad inicial $v$ ,

{\frac{d^{2} X (t)}{d t^{2}} |}_{t = t_{0}} = - X (t_{0} - 1) t \in [0, 1) ⟹ X (t) = PAG (t) {\frac{d}{d t} X (t) |}_{t = 1} = v

$\left. \frac{d^2 x(t)}{dt^2} \right|_{t = t_0} = - x(t_0 -1) \\ t \in [0,1) \implies x(t) = P(t) \\ \left. \frac{d}{dt}x(t) \right|_{t = 1}=v$

Los problemas de ecuaciones en diferencias diferenciales pueden tener muchas de las mismas características que los problemas ordinarios de valores propios, pero pueden presentar algunos de los mismos dolores de cabeza que los problemas de ecuaciones funcionales no triviales completos.

El tema de la cardinalidad no es fácil y puede ser sutil. Creo que la cardinalidad del conjunto de todas las ecuaciones diferenciales es la misma que la cardinalidad de las funciones, pero cuando te expandes a las ecuaciones funcionales, eso puede cambiar.

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