Al construir un impulso de Lorentz general utilizando un impulso del eje xxx, ¿cuál es la segunda rotación en relación con la primera rotación?

Question

Al construir un impulso de Lorentz general utilizando un impulso del eje xxx, ¿cuál es la segunda rotación en relación con la primera rotación?

Geoffrey

Como se discute en esta pregunta y en esta otra pregunta , es posible construir impulsos de Lorentz a lo largo de una dirección arbitraria usando solo el impulso de Lorentz a lo largo de la $x$ -eje realizando el siguiente procedimiento:

(1) Gire los ejes de coordenadas para alinear el $x$ -eje con la dirección del impulso.

(2) Realice un impulso a lo largo del nuevo $x$ -eje utilizando la fórmula habitual.

(3) Girar hacia atrás.

Todo esto está muy bien excepto por el último paso. ¿Qué significa "Girar hacia atrás". significa realmente? ¿Cuál es la relación entre el resto del proceso y el último paso?

En esta primera pregunta vinculada anteriormente, la respuesta aceptada afirma sin justificación que (al menos en 2 dimensiones espaciales) la segunda rotación es simplemente la inversa de la primera rotación. Esto me parece intuitivamente plausible.

La segunda pregunta vinculada anteriormente y su respuesta aceptada sugieren que las dos rotaciones son, en general, en 3 dimensiones espaciales, no inversas entre sí. Sin embargo, la respuesta vinculada no explica qué relación existe entre ellos.

Tomando $B(v\hat n)$ ser un impulso a lo largo del $\hat n$ dirección de magnitud $v$ y $R(\theta \hat k)$ ser una rotación de ángulo $\theta$ alrededor del eje dado por $\hat k$ Podemos simbolizar el problema de la siguiente manera:

B (v \hat{norte}) = R (θ (v, \hat{norte}) \hat{k} (v, \hat{norte})) B (v \hat{X}) R ({porque}^{- 1} (\hat{X} \cdot \hat{norte}) \frac{\hat{X} \times \hat{norte}}{| \hat{X} \times \hat{norte} |})

$B(v\hat n)=R(\theta(v,\hat n)\hat k(v,\hat n))B(v\hat x)R(\cos^{-1}(\hat x \cdot \hat n)\frac{\hat x \times \hat n}{|\hat x \times \hat n|})$

Entonces la pregunta es: ¿Cuál es la forma funcional de $\theta(v,\hat n)\hat k(v,\hat n)$ ¿Cuál especifica el ángulo y el eje de rotación para la segunda rotación?

Andrés Steane

Estás en lo correcto; no es "la rotación inversa" en un sentido simple. El resultado completo es bastante complicado, sobre todo porque para escribir una rotación como una matriz, primero debe especificar algunos ejes, y hay más de una opción razonable cuando también están involucrados los impulsos de Lorentz.

Geoffrey

@AndrewSteane ¿Puede proporcionar una referencia que analice la solución?

Andrés Steane

Lo siento; No conozco tal ref. Mi comentario se basa en mis esfuerzos por escribir la solución yo mismo. Llegué a establecer lo que afirmo aquí. Por supuesto, uno siempre puede escribir

Λ = R_{1} Λ_{z} R_{2}

$\Lambda = R_1 \Lambda_z R_2$ y encontrar las matrices; lo difícil es interpretarlos.

Geoffrey

@AndrewSteane Pasé varias horas pensando en este problema y resolviendo el álgebra. Resulta que las matrices de rotación son, de hecho, inversas. He publicado una respuesta detallada aquí en este hilo si está interesado.

Andrés Steane

OK; parece que mi comentario sobre la rotación inversa fue un poco engañoso; lo lamento. Ahora estoy luchando por recordar cuál era el problema en el que estaba pensando en ese momento. Es algo así como que la segunda rotación, al ser relativa a la dirección de impulso, es fácil de interpretar para un observador sentado en el marco que se mueve en esa dirección, pero uno debe tener cuidado con el ángulo que tiene en relación con el conjunto original de ejes. .

Geoffrey

@AndrewSteane Hmm, seguro, si nota un problema con mi respuesta, hágamelo saber. Me siento un poco tonto por no darme cuenta del punto principal de la pregunta anterior (a saber, que dado que estamos en un espacio vectorial lineal, la respuesta es bastante obvia). Además, la pregunta de Math StackExchange a la que me vinculo tiene muchas notas al margen interesantes sobre las rotaciones que realmente ayudaron.

Respuestas (2)

Al construir un impulso de Lorentz general utilizando un impulso del eje xxx, ¿cuál es la segunda rotación en relación con la primera rotación?

Estás en lo correcto; no es "la rotación inversa" en un sentido simple. El resultado completo es bastante complicado, sobre todo porque para escribir una rotación como una matriz, primero debe especificar algunos ejes, y hay más de una opción razonable cuando también están involucrados los impulsos de Lorentz.
@AndrewSteane ¿Puede proporcionar una referencia que analice la solución?
Lo siento; No conozco tal ref. Mi comentario se basa en mis esfuerzos por escribir la solución yo mismo. Llegué a establecer lo que afirmo aquí. Por supuesto, uno siempre puede escribir $\Lambda = R_1 \Lambda_z R_2$ y encontrar las matrices; lo difícil es interpretarlos.
@AndrewSteane Pasé varias horas pensando en este problema y resolviendo el álgebra. Resulta que las matrices de rotación son, de hecho, inversas. He publicado una respuesta detallada aquí en este hilo si está interesado.
OK; parece que mi comentario sobre la rotación inversa fue un poco engañoso; lo lamento. Ahora estoy luchando por recordar cuál era el problema en el que estaba pensando en ese momento. Es algo así como que la segunda rotación, al ser relativa a la dirección de impulso, es fácil de interpretar para un observador sentado en el marco que se mueve en esa dirección, pero uno debe tener cuidado con el ángulo que tiene en relación con el conjunto original de ejes. .
@AndrewSteane Hmm, seguro, si nota un problema con mi respuesta, hágamelo saber. Me siento un poco tonto por no darme cuenta del punto principal de la pregunta anterior (a saber, que dado que estamos en un espacio vectorial lineal, la respuesta es bastante obvia). Además, la pregunta de Math StackExchange a la que me vinculo tiene muchas notas al margen interesantes sobre las rotaciones que realmente ayudaron.

eli · Answer 1

puede obtener la transformación espacial de Lorentz aplicando dos rotaciones.

queremos "alinear" los ejes x con los ejes x', esto se puede hacer mediante dos rotaciones, primero rotar sobre los ejes z con el ángulo $\varphi$ y luego gire sobre los nuevos ejes y con el ángel $-\psi$ . de este modo:

la matriz de transformación sobre los ejes z es:

S_{z} = [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & porque (φ) & - pecado (φ) & 0 \\ 0 & pecado (φ) & porque (φ) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$S_z=\left[ \begin {array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&\cos \left( \varphi \right) &-\sin \left( \varphi \right) &0 \\ 0&\sin \left( \varphi \right) &\cos \left( \varphi \right) &0\\ 0&0&0&1\end {array} \right]$

y sobre los nuevos ejes y es:

S_{y} = [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & porque (ψ) & 0 & - pecado (ψ) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & pecado (ψ) & 0 & porque (ψ) \end{array}]

$S_y=\left[ \begin {array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&\cos \left( \psi \right) &0&-\sin \left( \psi \right) \\ 0&0&1&0\\ 0&\sin \left( \psi \right) &0&\cos \left( \psi \right) \end {array} \right]$

con :

φ = arcán (\frac{v_{y}}{v_{X}})

$\varphi=\arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$

ψ = arcán (\frac{v_{X}}{\sqrt{v_{X}^{2} + v_{y}^{2}}})

$\psi=\arctan\left(\frac{v_x}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\right)$ y el vector impulso

\vec{v} = [\begin{matrix} v_{X} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}]

$\vec{v}=\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ \end{bmatrix}$ obtienes la transformación espacial de Lorentz:

L_{D} = S_{z} S_{y} L S_{y}^{T} S_{z}^{T}

$L_D=S_z\,S_y\,L\,S_y^T\,S_z^T$ con la transformación de Lorentz

L

$L$

L = [\begin{array}{cccc} γ & γ v & 0 & 0 \\ γ v & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$L=\left[ \begin {array}{cccc} \gamma&\gamma\,v&0&0\\ \gamma\,v&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0 &0&0&1\end {array} \right]$

$\Rightarrow$

L_{D} = [\begin{array}{cccc} γ & γ v_{X} & γ v_{y} & γ v_{z} \\ v_{X} γ^{2} & \frac{γ {v_{X}}^{2} + {v_{y}}^{2} + {v_{z}}^{2}}{v^{2}} & \frac{(γ - 1) v_{y} v_{X}}{v^{2}} & \frac{v_{X} v_{z} (γ - 1)}{v^{2}} \\ v_{y} γ^{2} & \frac{(γ - 1) v_{y} v_{X}}{v^{2}} & \frac{{v_{X}}^{2} + {v_{y}}^{2} γ + {v_{z}}^{2}}{v^{2}} & \frac{v_{y} v_{z} (γ - 1)}{v^{2}} \\ v_{z} γ^{2} & \frac{v_{X} v_{z} (γ - 1)}{v^{2}} & \frac{v_{y} v_{z} (γ - 1)}{v^{2}} & \frac{{v_{z}}^{2} γ + {v_{X}}^{2} + {v_{y}}^{2}}{v^{2}} \end{array}] = [\begin{matrix} γ & γ \vec{v} \\ γ \vec{v} & I_{3} + \frac{γ - 1}{v^{2}} \vec{v} {\vec{v}}^{T} \end{matrix}]

$L_D=\left[ \begin {array}{cccc} \gamma&\gamma\,v_{{x}}&\gamma\,v_{{y}}& \gamma\,v_{{z}}\\ v_{{x}}{\gamma}^{2}&{\frac {\gamma \,{v_{{x}}}^{2}+{v_{{y}}}^{2}+{v_{{z}}}^{2}}{{v}^{2}}}&{\frac { \left( \gamma-1 \right) v_{{y}}v_{{x}}}{{v}^{2}}}&{\frac {v_{{x}}v_{{ z}} \left( \gamma-1 \right) }{{v}^{2}}}\\ v_{{y}}{ \gamma}^{2}&{\frac { \left( \gamma-1 \right) v_{{y}}v_{{x}}}{{v}^{2}}} &{\frac {{v_{{x}}}^{2}+{v_{{y}}}^{2}\gamma+{v_{{z}}}^{2}}{{v}^{2}}}&{ \frac {v_{{y}}v_{{z}} \left( \gamma-1 \right) }{{v}^{2}}} \\ v_{{z}}{\gamma}^{2}&{\frac {v_{{x}}v_{{z}} \left( \gamma-1 \right) }{{v}^{2}}}&{\frac {v_{{y}}v_{{z}} \left( \gamma-1 \right) }{{v}^{2}}}&{\frac {{v_{{z}}}^{2}\gamma+{v_{{x}}}^{2} +{v_{{y}}}^{2}}{{v}^{2}}}\end {array} \right] =\begin{bmatrix} \gamma & \gamma\,\vec{v} \\ \gamma\,\vec{v} & I_3+\frac{\gamma-1}{v^2}\vec{v}\,\vec{v}^T \\ \end{bmatrix}$

y la transformación inversa de Lorentz es:

L_{D}^{- 1} = L_{D} (\vec{v} \mapsto - \vec{v}) = [\begin{matrix} γ & - γ \vec{v} \\ - γ \vec{v} & I_{3} + \frac{γ - 1}{v^{2}} \vec{v} {\vec{v}}^{T} \end{matrix}]

$L_D^{-1}=L_D(\vec{v}\mapsto -\vec{v})=\begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\,\vec{v} \\ -\gamma\,\vec{v} & I_3+\frac{\gamma-1}{v^2}\vec{v}\,\vec{v}^T \\ \end{bmatrix}$

dónde $I_3$ es un $3\times 3$ matriz de unidad.

editar

¿Qué significa "Girar hacia atrás". significa realmente?

ejemplo:

los componentes del vector de momento angular en el sistema inercial son:

\begin{matrix} (1) & {(\vec{L})}_{I} = [_{B}^{I} S] {(I)}_{B} {(\vec{ω})}_{B} \end{matrix}

$\left(\vec{L}\right)_I=\left[_B^I\,S\right]\, \left(I\right)_B\, \left(\vec{\omega}\right)_B\tag 1$

donde B es el índice Body-Frame e I es el índice Inertial-Frame. $\left[_B^I\,S\right]$ es la matriz de transformación entre Body-Frame y Inertial-Frame. $\left(I\right)_B$ es el $3\times 3$ tensor de inercia en Body-Frame.

ahora, si los componentes del vector angular se dan en Inertial-Frame, así:

{(\vec{ω})}_{B} = [_{I}^{B} S] {(\vec{ω})}_{I}

$\left(\vec{\omega}\right)_B=\left[_I^B\,S\right] \left(\vec{\omega}\right)_I$

y ecuación (1):

{(\vec{L})}_{I} = [_{B}^{I} S] {(I)}_{B} [_{I}^{B} S] {(\vec{ω})}_{I} = S {(I)}_{B} S^{T} {(\vec{ω})}_{I}

$\left(\vec{L}\right)_I=\left[_B^I\,S\right]\,\left(I\right)_B\, \left[_I^B\,S\right] \left(\vec{\omega}\right)_I=S\,\left(I\right)_B\,S^T\,\left(\vec{\omega}\right)_I$

Los "componentes" del tensor de inercia se transforman por

{(I)}_{I} = S {(I)}_{B} S^{T}

$\left(I\right)_I=S\,\left(I\right)_B\,S^T$

lo mismo es cierto para cada transformación de matriz como la matriz de Lorentz.

Esto no es realmente responder a la pregunta. Has asumido que la forma correcta de la segunda rotación es la inversa de la primera, pero no lo has justificado ni probado. Además, el argumento analogístico relacionado con el tensor del momento de inercia es totalmente poco convincente. Los impulsos de Lorentz y los tenores de inercia tienen diferentes rangos, operan en espacios métricos con diferentes firmas, y ni siquiera es completamente obvio que tengan el mismo carácter tensorial.
¿Ha asumido que la forma correcta de la segunda rotación es la inversa de la primera? ¡¡¡Esto no es correcto, la primera rotación no tiene nada que ver con la segunda rotación!!!
Claramente debe tener alguna relación. La relación que postulas en tu respuesta es que $R_2 = R_1^T$ desde $S_z S_y = (S_y^T S_z^T)^T$ .
$S_y\,S_y^T=I_3$ y $S_z\,S_z^T=I_3$ por tanto, la matriz de Lorentz se debe a $L_D$ ecuación, entonces, ¿por qué crees que algo anda mal? $L_D=R\,L\,R^T$ dónde $R=S_z\,S_y$ y $R^T=S_y^T\,S_z^T$ pero esta matemática pura ? ¿Qué tiene de malo esta ecuación?
El problema es que en realidad no has probado que tu forma de $L_D$ es correcto. ¿Puede proporcionar una referencia para este reclamo? Eso es todo lo que estoy buscando.
Lo siento, no puedo, yo mismo solucioné este problema hace mucho tiempo.

Geoffrey · Answer 2

La solución es mucho más sencilla de lo que parece. El resultado del primer enlace que proporciona es cierto incluso en general, y la sugerencia en el segundo enlace de que las rotaciones no están relacionadas es incorrecta. En general, la relación entre las dos rotaciones en $\Lambda=R_2\Lambda_xR_1$ es eso $R_1$ y $R_2$ son inversas (es decir, transpuestas) unas de otras.

Ahora, justifiquemos esa respuesta.

Todas las operaciones que encontramos en este problema son de dimensión finita (es decir, 4 dimensiones) y lineales, lo que significa que se pueden representar como $4\times4$ matrices. Generalmente, hay dos interpretaciones que se le pueden dar a una matriz cuadrada no singular: (1) es un cambio de base de un sistema de coordenadas a otro, o (2) es una transformación lineal que mapea vectores en un vector lineal espacio a otros vectores en ese mismo espacio. En este problema, obviamente estamos interpretando las rotaciones como cambios de base y el impulso como una transformación lineal .

dadas dos bases $A$ y $B$ para algún espacio vectorial lineal y una transformación lineal $T$ en ese espacio, es bien sabido que $T$ Las representaciones de 's en las dos bases diferentes están relacionadas por $T_B=U_{A\to B}T_AU_{B\to A}$ (dónde $U_{A\to B}$ es la matriz de cambio de base de $A$ a $B$ ). Está claro que por definición $U_{A\to B}=(U_{B\to A})^{-1}$ . Para cualquier matriz de rotación $R$ , $R^{-1}=R^T$ ; por lo tanto, ahora es obvio que un impulso de Lorentz a lo largo de cualquier eje arbitrario puede estar dado por $R^T\Lambda_xR$

Esto responde a la pregunta tal como se planteó, pero en aras de la concreción, obtengamos el resultado general para un impulso de Lorentz arbitrario usando este método.

Primero, usaremos la fórmula provista en esta respuesta de Math StackExchange para calcular la forma de las matrices de rotación.

Como queremos rotar el vector unitario $\hat n = <n_x,n_y,n_z>$ en el vector unitario $\hat x=<1,0,0>$ , obtenemos $\hat n \cdot \hat x = \cos(\theta)= n_x$ y $\hat n \times \hat x=<0,n_z,-n_y>$ . Esto da

[v]_{\times} = [\begin{array}{ccc} 0 & {norte}_{y} & {norte}_{z} \\ - {norte}_{y} & 0 & 0 \\ - {norte}_{z} & 0 & 0 \end{array}]

$[v]_\times=\left[ \begin {array}{ccc} 0&n_y&n_z\\ -n_y&0&0\\ -n_z&0&0\end {array} \right]$

Por lo tanto, a partir de la respuesta de Math StackExchange, obtenemos

R = I + [v]_{\times} + [v]_{\times}^{2} \frac{1}{1 + porque (θ)}

$R = I + [v]_{\times} + [v]_{\times}^2\frac{1}{1+\cos(\theta)}$

y deducimos que el $4\times4$ la matriz de rotación es

R (\hat{norte}, \hat{X}) = [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {norte}_{X} & {norte}_{y} & {norte}_{z} \\ 0 & - {norte}_{y} & 1 - \frac{{norte}_{y}^{2}}{1 + {norte}_{X}} & - \frac{{norte}_{y} {norte}_{z}}{1 + {norte}_{X}} \\ 0 & - {norte}_{z} & - \frac{{norte}_{y} {norte}_{z}}{1 + {norte}_{X}} & 1 - \frac{{norte}_{z}^{2}}{1 + {norte}_{X}} \end{array}]

$R(\hat n,\hat x) = \left[ \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&n_x&n_y&n_z\\ 0&-n_y&1-\frac{n_y^2}{1+n_x}&-\frac{n_y n_z}{1+n_x}\\ 0&-n_z&-\frac{n_y n_z}{1+n_x}&1-\frac{n_z^2}{1+n_x}\\ \end{array}\right]$

Como nota, $R^T(\hat n,\hat x)=R(\hat x, \hat n)$ como se esperaba.

La matriz para el $x$ El impulso de Lorentz del eje es

Λ (β \hat{X}) = [\begin{array}{cccc} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$\Lambda(\beta\hat x) = \left[\begin{array}{cccc} \gamma&-\gamma\beta&0&0\\ -\gamma\beta&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{array}\right]$

Esto conduce al cálculo final del producto de matriz.

Λ (β \hat{norte}) = R^{T} (\hat{norte}, \hat{X}) Λ (β \hat{X}) R (\hat{norte}, \hat{X})

$\Lambda(\beta\hat n)=R^T(\hat n,\hat x)\Lambda(\beta\hat x)R(\hat n,\hat x)\\$

Después de un poco de álgebra tediosa, el resultado final es

Λ (β \hat{norte}) = [\begin{array}{cccc} γ & - γ β {norte}_{X} & - γ β {norte}_{y} & - γ β {norte}_{z} \\ - γ β {norte}_{X} & 1 + (γ - 1) {norte}_{X}^{2} & (γ - 1) {norte}_{X} {norte}_{y} & (γ - 1) {norte}_{X} {norte}_{z} \\ - γ β {norte}_{y} & (γ - 1) {norte}_{X} {norte}_{y} & 1 + (γ - 1) {norte}_{y}^{2} & (γ - 1) {norte}_{y} {norte}_{z} \\ - γ β {norte}_{z} & (γ - 1) {norte}_{X} {norte}_{z} & (γ - 1) {norte}_{y} {norte}_{z} & 1 + (γ - 1) {norte}_{z}^{2} \end{array}]

$\Lambda(\beta\hat n) = \left[\begin{array}{cccc} \gamma&-\gamma\beta n_x&-\gamma\beta n_y&-\gamma\beta n_z\\ -\gamma\beta n_x&1+(\gamma - 1) n_x^2&(\gamma - 1)n_xn_y&(\gamma - 1)n_xn_z\\ -\gamma\beta n_y&(\gamma - 1)n_xn_y&1+(\gamma - 1) n_y^2&(\gamma - 1)n_yn_z\\ -\gamma\beta n_z&(\gamma - 1)n_xn_z&(\gamma - 1)n_yn_z&1+(\gamma - 1) n_z^2\\ \end{array}\right]$

que es (notación de módulo) esta matriz de refuerzo , que es el resultado estándar citado en, por ejemplo, Jackson .

Al construir un impulso de Lorentz general utilizando un impulso del eje xxx, ¿cuál es la segunda rotación en relación con la primera rotación?

Geoffrey

Andrés Steane

Geoffrey

Andrés Steane

Geoffrey

Andrés Steane

Geoffrey

Respuestas (2)

eli

Geoffrey

eli

Geoffrey

eli

Geoffrey

eli

Geoffrey

No puedo conciliar mi comprensión de la contracción de longitud con la transformación de Lorentz

Problema de transformación de velocidad de Lorentz bidimensional

Demostrar y=y′,z=z′y=y′,z=z′y=y',z=z' en la transformación de Lorentz

¿Cómo construir generadores y Lie Algebra para el grupo de Lorentz?

¿Qué tan rápido tienes que viajar para viajar un año luz en un año debido a los efectos relativistas?

¿Cómo relacionaría Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} con la matriz de refuerzo de Lorentz?

¿Cuál es la interpretación física de los impulsos de Lorentz sin desplazamientos?

Duda en la contracción de la longitud de la barra que tiene velocidad en algún ángulo con respecto a su eje

Descomposición de la matriz de transformación de Lorentz restringida

Transformación de Lorentz de la velocidad