¿Cómo derivar la suma de velocidades sin la transformación de Lorentz?

Dado que las transformaciones de Lorentz son una consecuencia del postulado de constancia de la velocidad de la luz, junto con algunos postulados de homogeneidad y paralelismo, es un poco difícil precisar la solicitud de una demostración libre de transformaciones de Lorentz.

Pero interpretaré la pregunta como pidiendo una prueba sintética de la suma de velocidades. Una prueba sintética es una prueba del mismo estilo que las pruebas de geometría euclidiana que haces en la escuela primaria. Le da una imagen y una forma intuitiva de entender la fórmula.

Primero, para empezar, debes entender que una velocidad es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido, es el análogo de la tangente de un ángulo en geometría. En geometría, existe una ley de suma de tangentes:

$$\tan(a+b) = {\tan(a) + \tan(b)\over 1 - \tan(a)\tan(b)}$$

La forma más fácil de entender la relatividad es que se trata de la geometría de Lorentz, una geometría en la que el teorema de Pitágoras tiene un signo menos y las líneas perpendiculares no parecen perpendiculares, pero tienen la misma pendiente en relación con la línea de 45 grados (en lados opuestos). lados), donde la distinguida línea de 45 grados es el rayo de luz.

En geometría lorentziana, la fórmula de la suma es la ley de la suma de tangentes hiperbólicas:

$$\tanh(a+b) = {\tanh(a) + \tanh(b) \over 1 + \tanh(a)\tanh(b)}$$

Si interpretas los ángulos como las rapidezes (esta es solo la definición del análogo lorentziano de ángulo), las tangentes hiperbólicas como las velocidades, esta es la ley de la suma de velocidades.

Prueba sintética de ambas leyes de la suma de tangentes

Primero revisa estas dos respuestas: los postulados de Einstein$\leftrightarrow$Espacio de Minkowski para un profano y: ¿Cuáles son los mecanismos por los cuales se produce la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud? . Necesitas un poco de intuición para la geometría.

Considere el siguiente diagrama:

• [enlace de imagen rota (parece irrecuperable): http://i40.tinypic.com/105slt2.png/2rygd90.png ]

La suma geométrica de tangentes

Donde la longitud del segmento AB es 1, la longitud del segmento BC es u y el ángulo ABC es recto. Esto implica que el ángulo CAB tiene una tangente de u, por definición, y que la longitud de AC es$\sqrt{1+u^2}$.

Si quiero que el ángulo CAE tenga una tangente v, entonces necesito que la razón de EC a CA sea v. Esto determina que la longitud de EC sea$v\sqrt{1+u^2}$, y de esto, aprendes que la longitud de CD es v y la longitud de DE es uv (ya que el triángulo ABC y CDE son similares). Puede completar todas las longitudes con un bolígrafo, mi programa de dibujo no permitía raíces cuadradas.

Por tanto, la tangente de la suma de los dos ángulos es la razón

$${EF\over AF} = {u + v \over 1 - uv}$$

Y espero que el diagrama lo haga evidente sin fórmulas complicadas.

Para la relatividad, haces lo mismo en el espacio-tiempo. El diagrama análogo se da a continuación.

La suma relativista de velocidades --- eje temporal horizontal

En el triángulo ABC, AB está en el eje del tiempo (lo dibujé en horizontal para que el diagrama fuera lo más parecido posible al anterior), y tiene una longitud de 1. BC tiene una longitud u, por lo que la velocidad de la línea AC es u .

A partir de esto, encuentras la longitud de AC usando la versión relativista del teorema de Pitágoras (con un signo menos). Entonces, CE se dibuja de forma relativista, perpendicular a AC (así es como se ve, acostúmbrese a esto), y el triángulo CED es similar a ABC (por la misma razón que en la geometría euclidiana), de modo que las longitudes son proporcionales. De esto aprende que DE tiene una longitud v y CD tiene una longitud uv (igual que antes).

Ahora la velocidad total viene dada por la relación de EF a AF, como antes, y ahora es:

$${EF\over AF} = {u+v\over 1+uv}$$

Para convencerte de que esto está realmente bien, necesitas sentirte cómodo con las rotaciones de la relatividad.

Apoyo la respuesta de Ron: es la forma sistemática de proceder. La velocidad$v/c$puede escribirse como$\tanh \eta$dónde$\eta$, la rapidez o lo que sea, es la contraparte hiperbólica (Minkowski) del ángulo (Euclidiano). La suma de velocidades luego se reduce a una fórmula de suma para$\tanh(\eta_1+\eta_2)$porque las rapidezes simplemente se suman de forma aditiva.

Permítanme ofrecer una derivación elemental sin ninguna rapidez extravagante. Imagina que un objeto se mueve a la velocidad$u$a la derecha, otro objeto se mueve por$v$a la izquierda con respecto a nuestro marco. ¿Cuál es su velocidad relativa?

La línea universal del primer observador es una línea recta que contiene los puntos$(0,0)$y$(1,u)$; las coordenadas son$(t,x)$. El otro objeto tiene una línea de mundo que conecta$(0,0)$con$(1,-v)$. Ahora, imaginemos que transformamos la situación en el marco de reposo del segundo observador, es decir, lo impulsamos por la velocidad$v$. ¿Cómo se inclinará la línea del mundo del primer observador?

Para encontrar la respuesta, tenga en cuenta que al hacer el impulso de Lorentz que fija el origen$(0,0)$, el producto interior lorentziano de los dos vectores,$(1,u)$y$(1,-v)$, no cambiará; Defino el producto interior de$(A,B)$y$(C,D)$como$AC-BD/c^2$donde el signo menos proviene de los giros y vueltas de la relatividad lorentziana$c^2$es la conversión convencional de longitud a tiempo. Su longitud tampoco cambiará. También significa que el producto interior dividido por el producto de las longitudes no cambiará. En el marco original, es igual a

$$\frac{(1,u)\cdot (1,-v)}{|(1,u)|\cdot |(1,-v)|} = \frac{1^2+uv/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Tenga en cuenta que al tomar la relación, cancelé la normalización absoluta de los dos vectores $(1,u)$y $(1,-v)$, por lo que esta normalización no importa. Sin embargo, esta relación debe ser la misma en el nuevo marco donde los vectores de los observadores que indican las direcciones de la línea universal son $(1,0)$y $(1,V)$dónde $V$es la velocidad relativa total. De esos dos vectores, la misma relación que la anterior (que nuevamente cancela la normalización) es igual a $$\frac{(1,0)\cdot (1,V)}{|(1,0)| \cdot |(1,V)|} = \frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$$ Para estar seguros, las proporciones deben ser iguales y también se pueden escribir como $\cosh \eta$dónde $\eta$es el "ángulo hiperbólico" total, es decir, la rapidez entre las dos líneas del mundo, el mismo "ángulo" que se discutió anteriormente. La fórmula para $\cosh$es análoga a la fórmula de la escuela secundaria para $\cos$involucrando el producto interno pero no necesitas saber nada de este párrafo para seguir mi derivación.

Ahora tenemos

$$\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}} = \frac{1^2+uv/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Cuadrarlo e invertirlo: $$1 - \frac{V^2}{c^2} = \frac{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}{(1+uv/c^2)^2}$$ Expande el producto en el numerador y resta uno de ambos lados: $$- \frac{V^2}{c^2} = \frac{1 - u^2/c^2 - v^2/c^2 + u^2 v^2/c^4 - 1 - 2uv/c^2-u^2 v^2/c^4}{(1+uv/c^2)^2}$$ El numerador del lado derecho se simplifica, dos pares de términos se cancelan: $$- \frac{V^2}{c^2} = \frac{- u^2/c^2 - v^2/c^2 - 2uv/c^2}{(1+uv/c^2)^2}$$ Ahora, multiplica ambos lados por $(-1)$para deshacerse de los signos. E incluso ahora puedo calcular la raíz cuadrada: $$\frac{V}{c} = \frac{u/c+v/c}{1+uv/c^2}$$ que queríamos probar. Siéntete libre de multiplicarlo por $c$otra vez.

A David Mermin se le ocurrió un hermoso experimento mental, que se puede encontrar en su libro Boojums hasta el final :

Suponga que un observador en un marco inercial$S$observa un tren moverse a velocidad constante$v$. La longitud del tren en movimiento, medida en$S$, es igual a$L$. Ahora, en el momento$t=0$, un fotón y una partícula masiva (con velocidad$w < c$) comienzan a moverse desde la parte trasera del tren hacia el frente.

El fotón llega al frente a la vez$t=T$, y luego se refleja de nuevo; mientras tanto, la partícula masiva todavía se está moviendo hacia el frente. En algún momento posterior$t=T+T'$, la partícula y el fotón reflejado se encontrarán en un lugar específico del tren. Expresemos esta ubicación como una fracción.$f$de la longitud total$L$. Dado que esta ubicación es la misma en todos los marcos de referencia, podemos afirmar que$f$es invariante (si hacemos la suposición razonable de que las proporciones entre longitudes no cambian de un marco de referencia a otro).

De esto, tenemos

$$w(T + T') = c(T - T')\tag{1}.$$ De hecho, tanto la partícula como el fotón han viajado la misma distancia neta durante el tiempo total $T+T'$, pero el fotón se movía en dirección opuesta durante el intervalo de tiempo $T'$. La distancia que se movió el fotón durante $T$de atrás hacia adelante es la longitud $L$del tren + la distancia que se movió el tren durante este tiempo: $$cT = L + vT\tag{2}.$$ De manera similar, la distancia que se movió el fotón durante $T'$desde el frente hasta el punto de encuentro $fL$es $$cT' = fL - vT'\tag{3}.$$ De la ecuación (1), encontramos $$\frac{T'}{T} = \frac{c-w}{c+w}\tag{4},$$ y combinando esto con (2) y (3), encontramos $$f = \left(\frac{c+v}{c-v}\right)\frac{T'}{T} = \frac{(c+v)(c-w)}{(c-v)(c+w)}.\tag{5}$$ Ya que $f$es invariante, esta relación se mantiene verdadera en el marco de referencia $S'$que se mueve con el tren. En este marco, $v=0$y la partícula masiva tendrá una velocidad diferente, digamos $u$. Entonces obtenemos $$f = \frac{c-u}{c+u}.\tag{6}$$ Si ahora igualamos (5) y (6), encontramos $$\frac{c+w}{c-w} = \left(\frac{c+u}{c-u}\right)\left(\frac{c+v}{c-v}\right),\tag{7}$$ y resolviendo para $w$conduce a la familiar ley de la suma relativista: $$w = \frac{u+v}{1 + uv/c^2}.\tag{8}$$ Las únicas suposiciones en este simple experimento mental son que la velocidad de la luz $c$y las proporciones entre longitudes son invariantes.