Fórmula de adición de velocidad en Goldstein: impulsos en dos direcciones diferentes

Sí cambia: obtienes un término adicional. Resolví esto en tiempo real, por lo que probablemente había una forma más elegante de hacerlo, y es posible que haya un error tipográfico o dos. Correcciones bienvenidas. También usé el término "vector de Lorentz" para referirme a lo que llamaríamos un 4-vector en (3+1) dimensiones, y el término "vector espacial" para referirnos a lo que llamaríamos un 3-vector.

Nos ceñiremos a las dimensiones (2+1), por lo que el impulso general de Lorentz (que actúa sobre un vector de Lorentz) puede representarse mediante la siguiente matriz:

$$\Lambda = \pmatrix{ \gamma & -\gamma \beta n_x & -\gamma \beta n_y \\ -\gamma \beta n_x & 1+ (\gamma-1)n_x^2 & (\gamma - 1)n_x n_y \\ -\gamma \beta n_y & (\gamma -1)n_x n_y & 1 + (\gamma-1)n_y^2}$$

donde la velocidad del segundo cuadro con respecto al primero es$\vec \beta = \beta \left(n_x, n_y\right)$.

Sin pérdida de generalidad, alineemos nuestra dirección x con el primer impulso, de modo que la primera transformación de Lorentz pueda representarse por

$$\Lambda_1 = \pmatrix{ \gamma_1 & -\gamma_1 \beta_1 & 0 \\ -\gamma_1 \beta_1 & \gamma_1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$$

Así que la composición de los refuerzos sería

$$\Lambda_{21} = \Lambda_2 \cdot \Lambda_1 = \pmatrix{ \gamma_2 & -\gamma_2 \beta_2 n_x & -\gamma_2 \beta_2 n_y \\ -\gamma_2 \beta_2 n_x & 1+ (\gamma_2-1)n_x^2 & (\gamma_2 - 1)n_x n_y \\ -\gamma_2 \beta_2 n_y & (\gamma_2 -1)n_x n_y & 1 + (\gamma_2-1)n_y^2}\cdot \pmatrix{ \gamma_1 & -\gamma_1 \beta_1 & 0 \\ -\gamma_1 \beta_1 & \gamma_1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$$

$$= \pmatrix{ \gamma_2 \gamma_1(1+\beta_2 \beta_1 n_x) & -\gamma_2 \gamma_1(\beta_2 n_x + \beta_1) & -\gamma_2 \beta_2 n_y \\ -\gamma_2 \gamma_1 n_x(\beta_2 + n_x \beta_1) + \gamma_1\beta_1(n_x^2-1) & \gamma_2 \gamma_1 n_x(\beta_2 \beta_1 + n_x) + \gamma_1(1-n_x^2) & (\gamma_2-1)n_x n_y \\ -\gamma_2\gamma_1 n_y(\beta_2 + n_x \beta_1) + \gamma_1 \beta_1 n_x n_y & \gamma_2 \gamma_1 n_y(\beta_2 \beta_1 + n_x) - \gamma_1 n_x n_y & 1 + (\gamma_2-1)n_y^2 }$$

Si$n_x=1$y$n_y=0$, esto se reduce a

$$\Lambda_{21} = \pmatrix{ \gamma_2 \gamma_1(1+\beta_2 \beta_1) & -\gamma_2 \gamma_1 (\beta_2 + \beta_1) & 0 \\ -\gamma_2 \gamma_1 (\beta_2 + \beta_1)& \gamma_2 \gamma_1(1+\beta_2 \beta_1) & 0 \\ 0 & 0 & 1}$$

Puedes ver que si definimos$\gamma_{21} = \gamma_2 \gamma_1 (1+\beta_2 \beta_1)$y$\beta_{21} = \frac{\beta_2 + \beta_1}{1+\beta_2 \beta_1}$entonces solo tenemos otro impulso:

$$\Lambda_{21} = \pmatrix{ \gamma_{21} & -\gamma_{21} \beta_{21} & 0 \\ -\gamma_{21} \beta_{21} & \gamma_{21} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$$

Entonces, un objeto en reposo en el marco original se vería con la velocidad de Lorentz

$$u = \pmatrix{ \gamma_{21} & -\gamma_{21} \beta_{21} & 0 \\ -\gamma_{21} \beta_{21} & \gamma_{21} & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \cdot \pmatrix{ 1 \\ 0 \\ 0} = \pmatrix{ \gamma_{21} \\ -\gamma_{21} \beta_{21} \\ 0}$$

y velocidad espacial$-\vec \beta_{21}$después de los dos cambios de cuadro.

En general, lamentablemente, las cosas son más complicadas. tendríamos eso

$$u = \pmatrix{\gamma_2 \gamma_1(1+\beta_2 \beta_1 n_x) \\ -\gamma_2 \gamma_1 n_x(\beta_2 + n_x \beta_1) - \gamma_2\beta_1n_y^2 \\ -\gamma_2\gamma_1 n_y(\beta_2 + n_x \beta_1) + \gamma_1 \beta_1 n_x n_y}$$ donde hemos usado eso $n_x^2-1=-n_y^2$.

Podemos reorganizar un poco más para obtener

$$u = \pmatrix{\gamma_2 \gamma_1(1+\beta_2 \beta_1 n_x) \\ -\gamma_2 \gamma_1 (n_x\beta_2 + \beta_1) + n_y^2 \gamma_1 \beta_1(\gamma_2 - 1) \\ -\gamma_2\gamma_1 n_y \beta_2 - n_x n_y \gamma_1 \beta_1(\gamma_2 - 1)}$$

Acercarse. Recordar que$\gamma^2 - 1 = \beta^2\gamma^2$, entonces$\gamma-1 = \frac{\beta^2\gamma^2}{\gamma+1}$, y podemos decir

$$u = \pmatrix{\gamma_2 \gamma_1(1+\beta_2 \beta_1 n_x) \\ -\gamma_2 \gamma_1 (n_x\beta_2 + \beta_1) + \frac{n_y^2 \gamma_2^2\gamma_1 \beta_1\beta_2^2}{\gamma_2+1} \\ -\gamma_2\gamma_1 n_y \beta_2 - \frac{n_x n_y \gamma_2^2\gamma_1 \beta_2^2\beta_1}{\gamma_2+1}}$$

Alquiler$\gamma_{21} = \gamma_2 \gamma_1 (1+\beta_2 \beta_1 n_x) = \gamma_2 \gamma_1 (1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1)$y factorizándolo,

$$u = \gamma_{21} \pmatrix{1 \\ -\frac{n_x \beta_2 + \beta_1}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1} + \frac{\gamma_2}{\gamma_2 + 1} \frac{n_y^2 \beta_2^2 \beta_1}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1} \\ -\frac{n_y \beta_2}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1} - \frac{\gamma_2}{\gamma_2+1} \frac{n_x n_y \beta_2^2 \beta_1}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1}}$$

definamos$\vec \beta_A = \frac{\vec \beta_2 + \vec \beta_1}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1}$y$\vec \beta_B = \frac{\gamma_2}{\gamma_2+1}\frac{\beta_2 \times (\beta_2 \times \beta_1)}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1} = \frac{\gamma_2}{\gamma_2+1}\frac{\vec \beta_2 (n_x \beta_2 \beta_1) - \vec \beta_1 (\beta_2^2)}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1}$. Tenga en cuenta que

$$\hat x \cdot \vec \beta_A = \frac{n_x \beta_2 + \beta_1}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1}$$ $$\hat y \cdot \vec \beta_A = \frac{n_y \beta_2}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1}$$ $$\hat x \cdot \vec \beta_B = \frac{\gamma_2}{\gamma_2+1}\frac{n_x^2 \beta_2^2\beta_1 - \beta_2^2\beta_1}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1} = \frac{\gamma_2}{\gamma_2+1}\frac{-n_y^2 \beta_2^2 \beta_1}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1}$$ y $$\hat y \cdot \vec \beta_B = \frac{\gamma_2}{\gamma_2+1}\frac{n_x n_y \beta_2^2 \beta_1}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1}$$

Entonces, por fin, podemos definir nuestra fórmula de adición de velocidad. Se observará que un objeto en reposo en el marco original tiene velocidad de Lorentz

$$u = \pmatrix{\gamma_{21} \\ -\gamma_{21} \vec \beta_{21} }$$

y velocidad espacial

$$-\vec \beta_{21} = -\left(\vec \beta_A + \vec \beta_B\right) = -\left(\frac{\vec \beta_2 + \vec \beta_1}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1} + \frac{\gamma_2}{\gamma_2 + 1} \left[\frac{\vec \beta_2 \times (\vec \beta_2 \times \vec \beta_1)}{1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1}\right] \right)$$

dónde$\gamma_{21} = \gamma_2 \gamma_1 (1 + \vec \beta_2 \cdot \vec \beta_1)$.

Puaj. Bruto. Pero ahí lo tienes. Obviamente, si las velocidades son colineales, el segundo término desaparece, pero en general altera tanto la magnitud como la dirección de la velocidad resultante. También tenga en cuenta que el orden es importante: cambiar el orden de los aumentos cambia el segundo término de una manera no trivial (no solo un cambio de signo).