Derivación geométrica de los impulsos de Lorentz

En dos dimensiones se obtiene una muy buena parametrización del grupo de rotación mediante la siguiente línea de argumentos:

1. El grupo de rotaciones es conexo y compacto. Luego la exponencial es sobreyectiva.
2. Para cada vector no nulo$v$hay un vector unico$\star v$tal que$(v,\star v)$es una base ortogonal orientada positivamente y$\|\star v\|=\|v\|$. Entonces$\star v$tiene la interpretación simple de ser la rotación en sentido antihorario por$90^\circ$de$v$. Uno se identifica inmediatamente$\star$como el operador estrella de Hodge y prueba que es un elemento del álgebra de Lie.
3. Por un simple cálculo$e^{\varphi\star}v=\cos(\varphi)v+\sin(\varphi)\star v$para cada$\varphi\in\mathbb{R}$.

Se puede tomar un camino similar para el grupo de rotación tridimensional a través del elemento de su álgebra de Lie$\varphi\cdot J$definido por$\varphi\cdot Jv=\varphi\times v:=\star(\varphi\wedge v)$para todos los vectores v. La idea es similarmente que$(\varphi, \varphi\times v, \varphi\times(\varphi\times v))$es una base orientada. Esto lleva a la fórmula de Rodrigues.

Me gustaría saber si alguien conoce una caracterización tan simple para el grupo de Lorentz (ortocrónico adecuado). Dado que todos los elementos del grupo de Lorentz se pueden escribir usando el producto de una rotación y un impulso, estoy particularmente interesado en los impulsos. Me gustaría en particular una descripción geométrica y sin bases. Parece que soy capaz de retener tales descripciones mucho mejor. Me imagino que el enunciado del problema sería algo así como

Considere un vector temporal unitario$t$(que indica la 4-velocidad del observador) y un vector espacial unitario$n$(indicando la dirección preferida en el espacio). Considere una transformación de Lorentz$L$que deja invariante$\text{span}\{t,n\}^\bot$. Luego, se debe obtener una relación como la fórmula de Rodrigues (ver wikipedia ) usando un elemento de álgebra de Lie inspirado geométricamente (no entiendo el contenido geométrico del habitual$K$'s). Los parámetros que multiplican este elemento del álgebra de Lie deben ser claramente identificables con rapidez o algún parámetro relacionado.