Amplitud de probabilidad en términos de Layman

Parte de tu problema es

"La amplitud de probabilidad es la raíz cuadrada de la probabilidad [...]"

La amplitud es un número complejo cuya amplitud es la probabilidad. Eso es$\psi^* \psi = P$donde el superíndice asterisco significa el complejo conjugado. ¹ Puede parecer un poco pedante hacer esta distinción porque hasta ahora la "fase compleja" de las amplitudes no tiene ningún efecto sobre los observables: siempre podemos rotar cualquier amplitud dada sobre la línea real positiva y luego "la raíz cuadrada" estaría bien.

Pero no podemos garantizar que podamos rotar más de una amplitud de esa manera al mismo tiempo.

Más aún, hay dos formas de combinar amplitudes para encontrar probabilidades para la observación de eventos combinados.

• Cuando los estados finales son distinguibles, agrega probabilidades:$P_{dis} = P_1 + P_2 = \psi_1^* \psi_1 + \psi_2^* \psi_2$.

• Cuando el estado final es indistinguible, ² agregas amplitudes:$\Psi_{1,2} = \psi_1 + \psi_2$, y$P_{ind} = \Psi_{1,2}^*\Psi_{1,2} = \psi_1^*\psi_1 + \psi_1^*\psi_2 + \psi_2^*\psi_1 + \psi_2^*\psi_2$. Los términos que mezclan las amplitudes etiquetadas como 1 y 2 son los "términos de interferencia". Los términos de interferencia son la razón por la que no podemos ignorar la naturaleza compleja de las amplitudes y causan muchos tipos de rarezas cuánticas.

¹ Aquí estoy usando una notación que recuerda una formulación tipo Schrödinger, pero esa interpretación no es necesaria. Solo acepta$\psi$como un número complejo que representa la amplitud de alguna observación.

² Esto no es preciso, los estados deben ser "coherentes", pero hoy no querrá oír hablar de eso.

Antes de tratar de comprender la mecánica cuántica propiamente dicha, creo que es útil tratar de comprender la idea general de sus estadísticas y probabilidades.

Hay básicamente dos tipos de sistemas matemáticos que pueden producir un formalismo no trivial para la probabilidad. Uno es del tipo con el que estamos familiarizados en la vida cotidiana: cada resultado tiene una probabilidad, y esas probabilidades suman directamente el 100 %. Una moneda tiene dos caras, cada una con un 50% de probabilidad.$50\% + 50\% = 100\%$, ahí vas.

Pero hay otro sistema de probabilidad, muy diferente al que tú y yo estamos acostumbrados. Es un sistema donde cada evento tiene asociado un vector (o número complejo), y la suma de las magnitudes al cuadrado de esos vectores (números complejos) es 1.

La mecánica cuántica funciona de acuerdo con este último sistema, y ​​por esta razón, los números complejos asociados con los eventos son los que a menudo tratamos. La función de onda de una partícula es simplemente la distribución de estos números complejos en el espacio. Hemos optado por llamar a estos números "amplitudes de probabilidad" simplemente por conveniencia.

El sistema de probabilidad que sigue QM es muy diferente de lo que la experiencia cotidiana esperaría que creyéramos, y esto tiene muchas consecuencias matemáticas. Hace posibles los efectos de interferencia, por ejemplo, y esto solo se puede explicar directamente con amplitudes. Por esta razón, las amplitudes son físicamente significativas; son significativas porque el modelo matemático de probabilidad en la escala cuántica no es a lo que usted y yo estamos acostumbrados.

Editar : con respecto a "solo cosas adicionales debajo del capó". Aquí hay una forma más concreta de hablar sobre la diferencia entre probabilidad clásica y cuántica.

Dejar$A$y$B$ser eventos mutuamente excluyentes. En la probabilidad clásica, tendrían probabilidades asociadas$p_A$y$p_B$, y la probabilidad total de que ocurran se obtiene mediante la suma,$p_{A \cup B} = p_A + p_B$.

En probabilidad cuántica, sus amplitudes se suman en su lugar. Esta es una diferencia clave. Hay una amplitud total$\psi_{A \cup B} = \psi_A + \psi_B$. y la magnitud al cuadrado de esta amplitud, es decir, la probabilidad, es la siguiente:

Hay un término adicional , que produce un comportamiento físicamente diferente . Esto cuantifica los efectos de la interferencia, y para las elecciones correctas de$\psi_A$y$\psi_B$, podría terminar con dos eventos que tienen probabilidades individuales distintas de cero, ¡pero la probabilidad de la unión es cero! O superior a las probabilidades individuales.

En mecánica cuántica, la amplitud$\psi$, y no la probabilidad$\mid\psi\mid^2$, es la cantidad que admite el principio de superposición . Note que la dinámica del sistema físico (ecuación de Schrödinger) está formulada en términos de y es lineal en la evolución de este objeto. Observe que trabajando con superposición de$\psi$también permite fases complejas$e^{i\theta}$interpretar un papel. Con el mismo espíritu, la superposición de dos sistemas se calcula mediante la investigación de la superposición de las amplitudes.

Estoy de acuerdo con las otras respuestas proporcionadas. Sin embargo, puede encontrar las amplitudes de probabilidad más intuitivas en el contexto del enfoque integral de trayectoria de Feynman.

Supongamos que se crea una partícula en la ubicación$x_1$en el momento$0$y que desea saber la probabilidad de observarlo más tarde en alguna posición$x_2$en el momento$t$.

cada camino$P$eso comienza en$x_1$en el tiempo cero y termina en$x_2$en el momento$t$está asociado con una amplitud de probabilidad (compleja)$A_P$. Dentro del enfoque de la integral de trayectoria, la amplitud total del proceso inicialmente descrito viene dada por la suma de todas estas amplitudes:

$A_{\textrm{total}} = \sum_P A_P$

Es decir, la suma de todos los caminos posibles que la partícula podría tomar entre$x_1$y$x_2$. Estos caminos interfieren coherentemente, y la probabilidad de observar la partícula en$x_2$en el momento$t$viene dado por el cuadrado de la amplitud total:

$\textrm{probability to observe the particle at $x_2$ at time $t$} = |A_{\textrm{total}}|^2 = |\sum_P A_P|^2$

Debo señalar que el formalismo integral de ruta de Feynman (descrito anteriormente) es en realidad un caso especial de un enfoque más general en el que las amplitudes están asociadas con procesos en lugar de rutas.

Además, una buena referencia para esto es el volumen 3 de The Feynman Lectures .

En mecánica cuántica, una partícula se describe por su función de onda$\psi$(en representación espacial sería por ejemplo$\psi(x,t)$, pero omito los argumentos a continuación). Observables, como la posición$x$están representados por operadores$\hat x$. El valor medio de la posición de una partícula se calcula como

Ya que$\hat x$aplicado a$\psi(x,t)$solo da la posicion$x$veces$\psi(x,t)$podemos escribir la integral como

$\tilde \psi$es el complejo conjugado de$\psi$y por lo tanto$\tilde \psi \psi=|\psi|^2$.

Y finalmente, dado que un valor medio generalmente se calcula como una integral sobre la variable multiplicada por una distribución de probabilidad$\rho$como

Entonces, la función de onda (que es la solución a la ecuación de Schrödinger que describe el sistema en cuestión) es una amplitud de probabilidad en el sentido de la primera oración del artículo que vinculaste.

Por último, la mancuerna muestra el área en el espacio donde$|\psi|^2$es más grande que un número muy pequeño, así que básicamente las regiones, donde no es improbable encontrar el electrón.

Eche un vistazo a esta declaración simplificada al describir el comportamiento de una partícula en un problema potencial:

En mecánica cuántica, una amplitud de probabilidad es un número complejo cuyo módulo al cuadrado representa una probabilidad o densidad de probabilidad.

Este número complejo proviene de una solución de una ecuación mecánica cuántica con las condiciones de contorno del problema, generalmente una ecuación de Schroedinger, cuyas soluciones son las "funciones de onda".$\psi(x)$, dónde$x$representa las coordenadas de forma genérica para este argumento.

Los valores tomados por una función de onda normalizada$\psi$en cada punto$x$son amplitudes de probabilidad, ya que$|\psi(x)|^2$da la densidad de probabilidad en la posición$x$.

Para pasar de los números complejos a una distribución de probabilidad, la probabilidad de encontrar la partícula, tenemos que tomar el cuadrado complejo de la función de onda$\psi^\ast\psi$.

Entonces, la "amplitud de probabilidad" es una definición / identificación alternativa de "función de onda", que viene después del hecho, cuando se encontró experimentalmente que$\psi^\ast \psi$da una distribución de densidad de probabilidad para la partícula en cuestión.

Primero se calcula ψ y luego se puede evaluar la densidad de probabilidad$\psi^\ast \psi$, no de la otra manera. La importancia de$\psi$es que es el resultado de un cálculo.

Estoy de acuerdo en que es confuso para los no físicos que conocen las probabilidades de las estadísticas.