Espacio de Hilbert amañado y QM

No conozco ningún libro que use este lenguaje exclusivamente, pero la idea básica es bastante sencilla:

Todos los espacios de Hilbert son isomorfos (si sus dimensiones coinciden). Esto presentaría problemas conceptuales en la mecánica cuántica si alguna vez habláramos solo del espacio de Hilbert; ¿Cómo podríamos distinguirlos? Pero está bien porque en realidad estamos interesados ​​en un espacio de Hilbert.$\mathcal{H}$equipado con un álgebra de operadores$\mathcal{A}$.

Por ejemplo, la diferencia real entre$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})$y$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3)$: Cuando hablamos de lo primero, estamos hablando de$L^2(\mathbb{R})$con la acción natural del álgebra de Heisenberg 1d$\mathcal{A}_1$(generado por$P$y$Q$tal que$[Q,P] = i\hbar$). Cuando hablamos de esto último, estamos hablando del espacio de Hilbert con la acción natural del álgebra 3d de Heisenberg$\mathcal{A}_3$.

Ni el álgebra actúa realmente sobre la totalidad de$\mathcal{H}$.$(Q\psi)(x)= x\psi(x)$no necesariamente se encuentra en$L^2$. Asimismo, la acción del operador de diferenciación$P = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$en un vector$v \in \mathcal{H}$no está definido si$v$no es una función diferenciable. Y$P^2$solo se define en funciones dos veces diferenciables. Sin embargo, hay algunas funciones sobre las cuales la acción de cualquier poder$P^nQ^m$se define: Si$v$y todas sus derivadas se desvanecen más rápido en el infinito que cualquier polinomio, la acción de cualquier elemento de$\mathcal{A}_1$se define. Igualmente,$\mathcal{A}_3$realmente actúa en el set$\mathcal{S}$de funciones en$L^2(\mathbb{R}^3)$cuyas derivadas parciales se desvanecen lo suficientemente rápido en el infinito.

En general, si tienes un espacio de Hilbert y un álgebra$\mathcal{A}$de operadores con espectro continuo, hay un subespacio máximo$\mathcal{S} \subset \mathcal{H}$en la que$\mathcal{A}$hechos. Este es el subespacio de$v \in \mathcal{H}$para cual$av$se define y$||a v|| < \infty$para cualquier$a \in \mathcal{A}$. Se llama el espacio de vectores suaves para$\mathcal{A}$. (Ejercicio:$\mathcal{S}$es denso en$\mathcal{H}$.)

$\mathcal{S}$obtiene una topología de ser un subespacio de$\mathcal{H}$, pero en realidad tiene una topología mucho más fuerte de la familia de seminormas$v \mapsto ||a v||$(por$a \in \mathcal{A}$). Esta topología lo convierte en un espacio vectorial nuclear.

Dado$\mathcal{S} \subset \mathcal{H}$, puedes construir el espacio$\mathcal{S}^* \supset \mathcal{H}$de funcionales lineales complejos lineales continuos (en lugar de la topología nuclear) en$\mathcal{S}$. (Aquí estamos usando el teorema de representación de Riesz para identificar$\mathcal{H}$con su doble$\mathcal{H}^*$.) Este espacio debe ser pensado como el espacio de los sujetadores, en el sentido de bra-ket de Dirac. el sujetador $\langle x |$es la función lineal que mapea$\psi \in \mathcal{S}$a$\psi(x) =\langle x | \psi \rangle$, también conocido como la función delta de Dirac$\delta_x$con apoyo en$x$. (El espacio de kets es el espacio conjugado, que consta de funcionales lineales conjugados en$\mathcal{S}$. el ket$|x \rangle$mapea un estado$\psi \in \mathcal{S}$a$\psi^*(x) = \langle \psi| x\rangle$.)

este espacio$\mathcal{S}$Vale la pena considerarlo porque le da un sentido riguroso a la idea de que los elementos de$\mathcal{A}$con espectro continuo tienen vectores propios, y que puede expandir algunos estados en estas bases propias. Los elementos del álgebra$\mathcal{A}$no puede tener vectores propios en$\mathcal{H}$si tienen espectro continuo. Pero tienen vectores propios en el espacio de sujetadores. La definición es un truco estándar de extensión por dualidad:$v \in \mathcal{S}^*$es un vector propio de$a \in \mathcal{A}$con valor propio$\lambda$si$(av)(\psi) = \lambda v(a^*\psi)$para todos$\psi \in \mathcal{S}$. (Ejercicio:$\langle x|$es la eigenbra con autovalores$x$del operador de posición$Q$.)

el triplete$(\mathcal{S}, \mathcal{H}, \mathcal{S}^*)$es un espacio de Hilbert amañado. El lenguaje de los espacios de Hilbert manipulados se inventó para capturar las ideas que describí anteriormente: los vectores uniformes de un álgebra de operadores con espectro continuo y el espacio vectorial dual donde viven las bases propias de estos operadores. De hecho, el lenguaje coincide muy bien con la física, especialmente el formalismo de soporte, pero proporciona un nivel de precisión que no es realmente necesario para la mayoría de los cálculos (por ejemplo, con aritmética de coma flotante).

No hay demasiados ejemplos de espacios de Hilbert amañados tratados extensamente en la literatura. Planeo escribir un artículo sobre el enfoque espacial amañado de Hilbert para el átomo de hidrógeno de Schroedinger. Puedes usar la tesis doctoral de Rafael de la Madrid ( http://galaxy.cs.lamar.edu/~rafaelm/dissertation.html ) y todos los artículos aquí: https://scholar.google.com/citations?user =OqTexTYAAAAJ&hl=es