Cálculo de la suma armónica esférica en el propagador de la partícula sobre una esfera

La suma sobre el número cuántico magnético se puede lograr utilizando la fórmula de suma de armónicos esféricos

$\sum_{m=-l}^{l}Y_{lm}(\hat{\mathbb{n_i}}) Y_{lm}(\hat{\mathbb{n_f}}) = \frac{2l+1}{4 \pi} P_l(\hat{\mathbb{n_i}}.\hat{\mathbb{n_f}})$

Dónde$\hat{\mathbb{n_i}}$,$\hat{\mathbb{n_f}}$son los vectores unitarios inicial y final sobre la esfera y$P_l$son los polinomios de Legendre. La suma restante tiene la forma:

$K(\theta, t_f-t_i) = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{2l+1}{4 \pi} e^{i l(l+1)(t_f-t_i)}P_l(cos(\theta))$

Dónde$\theta = \arccos(\hat{\mathbb{n_i}}.\hat{\mathbb{n_f}})$

(Se supone que la energía es la de una partícula libre en la esfera):

$E_n =l(l+1)$.

La forma "más cercana" de la suma restante es por medio de una derivada fraccionaria del propagador en el círculo que se puede expresar por medio de la función theta de Jacobi. Consulte http: revisión de Camporesi (ecuaciones 8.38 y 6.35) para ver la prueba completa :

$K(\theta, t_f-t_i) = e^{i/4 (t_f-t_i)} (\frac{1}{2\pi} \frac{\partial}{\partial (\cos \theta + 1)})^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2\pi} \Theta_3(\frac{\theta}{2}, -\frac{t_f-t_i}{\pi})$