Un tratamiento riguroso de las distribuciones en mecánica cuántica

En muchos cursos de introducción a la mecánica cuántica, vemos d -Funciones por todas partes. Por ejemplo, al expresar una función de onda arbitraria ψ ( X ) en base a funciones propias del operador de posición X ^ como

ψ ( X ) = ∫ d ξ d ( X − ξ ) ψ ( ξ ) .
En notación bra-ket esto corresponde a
| ψ ⟩ = ∫ d ξ | ξ ⟩ ⟨ ξ | ψ ⟩ ,
dónde | ξ ⟩ es el estado correspondiente a la función de onda X ↦ d ( X − ξ ) . Ahora el d -function no es realmente una función, sino una distribución, que se define por cómo actúa sobre las funciones de prueba, es decir d [ φ ] = φ ( 0 ) .

¿Conoce un texto introductorio a la mecánica cuántica que haga hincapié en este punto y utilice correctamente el lenguaje de las distribuciones, evitando cualquier función con picos perfectamente infinitos?

El libro del Mesías cubre el formalismo con rigor, pero es un poco viejo y detallado.

Respuestas (2)

Quizá estés empezando por el lado equivocado. Su preocupación parece estar relacionada en primer término con la notación totalmente engañosa de las integrales en la mecánica cuántica, y esto está más relacionado con el teorema espectral que con las distribuciones en sí. Las distribuciones solo aparecen en la mecánica cuántica cuando ciertos operadores tienen espectro vacío en el espacio de Hilber habitual. Entonces, debe considerar un espacio subyacente más grande.

Entonces, para la notación e interpretación integral, debe comenzar con un libro matemático puro como "Análisis funcional" de Walter Rudin. No hay nada aquí relacionado con la física ya que estas "integrales de medida de proyección" pertenecen al mundo de las matemáticas puras y el teorema espectral. Este es un libro de matemáticas puras totalmente riguroso, así que esté equipado con una fuerte voluntad para leer de principio a fin.

Una vez que tenga la base matemática y se sienta totalmente cómodo con las integrales de la mecánica cuántica (que no es más que el torema espectral), puede pasar a las distribuciones de la mecánica cuántica, que se desarrollan en el contexto de los tripletes de Gelfand. Una excelente referencia es "El papel del espacio amañado de Hilbert en la Mecánica Cuántica" de Rafael de la Madrid. Está disponible gratuitamente en la web.

Déjame saber si esto responde a tu pregunta.

¡Muchas gracias! El artículo de Rafael de la Madrid es exactamente el tipo de explicación que estaba buscando.

Brian Hall "Teoría cuántica para matemáticos" es un libro reciente y agradable que presenta los conceptos básicos de QM con rigor matemático, como sugiere el título. Cubre una buena cantidad de temas y parece adecuado para un nivel universitario. El breve libro de Mackey "Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica" también es un libro muy bueno sobre la axiomatización de QM, pero puede ser difícil para un estudiante universitario.

Para mi decepción, todo lo que el libro de Halls tiene que decir sobre las distribuciones es un apéndice de definiciones de 2 páginas.
Probablemente esto se deba a que no necesita tanto las distribuciones para hacer QM básico de una manera rigurosa ;-). Sin embargo, si observa la entrada "vector propio generalizado" en el índice, encontrará alguna referencia a d estados de los físicos (ver página 124 y sección 6.6 en particular)
Un tratamiento riguroso de las distribuciones en mecánica cuántica
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v