Físicamente, ¿qué es una representación pseudoreal?

Hay tres tipos de representaciones: reales, complejas y pseudoreales. Una representación compleja no es equivalente a su conjugada, y una real sí lo es, lo cual es bastante sencillo. Una representación pseudoreal también es equivalente a su conjugada, pero la matriz de cambio de base que las relaciona tiene algunas propiedades curiosas. (Tenga en cuenta que estas definiciones son independientes de los términos 'real' y 'complejo' en matemáticas; todas las representaciones en mecánica cuántica son 'complejas' en el sentido matemático).

Hay un significado físico claro de una representación compleja, es decir, que las partículas que se transforman en estas representaciones no son lo mismo que sus antipartículas. Pero no puedo encontrar ningún significado físico simple para la pseudorealidad que la distinga de la realidad; me parece una distinción bastante arbitraria y ni siquiera sé por qué querríamos hacer esa distinción en términos matemáticos. ¿Cómo debo pensar sobre la realidad y la pseudorealidad físicamente?

Matemáticamente hablando, todas las representaciones de un grupo GRAMO se definen de la misma manera, π : GRAMO → A tu t V . Por lo tanto, las repeticiones a las que se refiere deben tener condiciones adicionales además de la definición general de una repetición.
El prototipo estándar para aplicaciones son todas las repeticiones de S tu ( 2 ) siendo pseudoreal, que dictan la desaparición de anomalías para él--el simétrico d -los coeficientes en el álgebra de Lie desaparecen. Tal vez encuentres un significado satisfactorio en esto.

Respuestas (1)

La definición de una representación real no es simplemente que sea isomorfa a su conjugada.

Tanto las representaciones reales como las pseudoreales son isomorfas a sus conjugadas. Esta isomorfía obliga a la existencia de un mapa antilineal equivariante

j : V → V ,
dónde V es el espacio de representación, que simplemente es el isomorfismo ϕ : V → V ∗ concatenados con conjugación compleja.

Tal aplicación equivariante necesariamente cuadra a un múltiplo de la identidad por el lema de Schur, es decir j 2 = C ⋅ i d V para algunos C ∈ R . Si C > 0 , entonces j es una forma real y la representación es real, si C < 0 , entonces j es una forma cuaterniónica y la representación es pseudoreal = cuaterniónica.

Puede reducir una representación real a una representación literal en un espacio vectorial real, es decir, restringir la representación al subespacio con j ( v ) = v , es decir, la representación compleja V se divide naturalmente en la suma directa de dos representaciones reales V = V R ⊕ i V R . Esto es, por ejemplo, lo que son los espinores de Majorana.

No se puede reducir una representación cuaterniónica de esta manera (aunque hay un asunto curioso con las pseudo-majoranas que no me queda del todo claro).

Está bien, ya veo. Entonces, si estoy aclarando esto, esta distinción nunca es importante en la mecánica cuántica (porque el espacio de Hilbert siempre es complejo), pero puede serlo en la teoría cuántica de campos (porque los campos pueden tener valores reales), ¿verdad?
@knzhou De hecho, esto solo importa para las representaciones en espacios vectoriales complejos que no son espacios de estados mecánicos cuánticos.
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