SU(2)SU(2)SU(2) Lagrangiano invariante

la idea de la$C$matriz es que si$\Phi$se transforma como$\Phi\rightarrow U\Phi$, dónde$U$es alguna representación de SU(2), entonces también$\Phi^c\rightarrow U\Phi^c$. Puedes resolverlo tú mismo usando el$\epsilon$matriz para el caso de la representación fundamental.

Ahora tomando el complejo conjugado tenemos$\Phi^\dagger\rightarrow \Phi^\dagger U^{-1}$(de manera similar para$\Phi^c$), y entonces

$$\Phi^\dagger \tau^a \Phi\rightarrow \Phi^\dagger\left( U^{-1}\tau^a U\right)\Phi=R(U)^a_{\,b}\Phi^\dagger\tau^b\Phi$$ dónde$R(U)$es la representación adjunta de SU(2).

Así que los términos como los escribiste no son$SU(2)$invariantes, están en la representación adjunta. Pero si miras en el papel están contraídos con otro factor en la representación adjunta (con índice$a$), por lo que todo el término con ambos factores es invariante.

Están suprimiendo los índices SU(2). Si este es su primer pase, tiene todo el derecho a confundirse. Seré muy explícito con mis índices para que puedan ver la estructura subyacente.

Teorema: El producto de dos representaciones de$\phi, \psi$de SU(2) es invariante si sus índices se contraen con un tensor invariante (de la misma representación) de SU(2).

Eso es un poco complicado, pero lo siguiente debería aclarar. Hay dos tensores invariantes de la 2 rep de$SU(2)$(1)$\epsilon_{ab}$y 2)$\delta_{\bar{a} b}$. La barra denota un índice que se transforma bajo la representación conjugada compleja.

Ahora, escribamos sus dos vectores$\Phi$, y$\Phi^\dagger$explícitamente con índices. El se vería como

$$\Phi \sim \Phi_a \qquad \Phi^\dagger \sim \Phi^\dagger_\bar{a}$$

Aquí está el problema que tengo con la pregunta : como está formulada la pregunta, simplemente no es cierta en general. Como se menciona en el primer párrafo bajo el "teorema", las únicas dos contracciones invariantes de dos dobletes SU(2) son

$$\Phi^\dagger_\bar{a} \delta_{\bar{a} b} \Phi_b \sim \Phi^\dagger \Phi$$

y

$$\Phi_a\Phi_b \epsilon_{ab} \sim \Phi \Phi$$ .

Este último se conoce como la representación singlete, donde a la derecha he escrito la notación de "índice suprimido" de cada contracción.

Posible resolución : Mi conjetura es que el documento asume que$\Phi$se transforma en la representación adjunta de SU(2) (también conocida como 3 ). Si este es el caso, entonces de hecho la contracción entre el 3 y otro 3 dada por

$$\Phi^\dagger_{i} T^a_{ij} \Phi_j$$

dónde$T^a$es un generador de la fundamental de SU(2), es de hecho un invariante de la representación adjunta si SU(2). Si observa la derivada covariante de calibre de QCD, esto es exactamente lo mismo (excepto con SU (3)).

Conclusión : los dos invariantes diferentes de los que está hablando son para dos representaciones diferentes de SU (2). De hecho, casi siempre que ves$\Phi^\dagger T^a \Phi$casi siempre están hablando del adjunto de SU(3) (el 8 de SU(3)) y no del 3 de SU(2). Pero el punto es que las dos invariantes que escribiste corresponden a dos representaciones diferentes de SU(2) (la fundamental y la adjunta) y, por lo tanto, nunca pueden aparecer en el mismo lagrangiano (a menos que proporciones tus repeticiones con ambos índices), solo obtendrás verlos en diferentes teorías.