Mismo cargo U(1)U(1)U(1) para el doblete SU(2)SU(2)SU(2)

Si se declara que una teoría tiene un grupo de simetría$G$, significa más abstractamente que el grupo$G$actúa sobre los constituyentes (campos, etc.) de acuerdo con algunas reglas y la teoría (lagrangiana, etc.) permanece invariante bajo tales transformaciones.

A menudo, los constituyentes (campos, etc.) forman representaciones (lineales)$V$del grupo$G$. Si la representación es (completamente) reducible podemos descomponerla en irreps. Los objetos fundamentales (campos, etc.) [que consideramos] son ​​por esta razón a menudo elegidos para transformarse como irreps de la teoría.

Ahora un irrep$V$de un grupo de productos$G=G_1\times G_2$es de la forma de un tensor de productos$V\cong V_1 \otimes V_2$de irrep$V_1$y$V_2$para los grupos$G_1$y$G_2$, respectivamente.

Los irreps del grupo Abelian$U(1)$son todos$1$-dimensional y etiquetado por un número entero$n\in \mathbb{Z}$llamado el cargo.

Entonces, para volver a la pregunta de OP, en la teoría electrodébil con grupo$G=SU(2)\times U(1)$, el campo se transforma por definición como un irrep$V\cong V_1 \otimes V_2$de$SU(2)\times U(1)$. En particular, la irrep$V$lleva un$U(1)$carga, que (módulo varias convenciones de normalización) es la hipercarga débil . Para resumir: el punto principal es que la hipercarga débil se fija por definición/construcción.

Quizás el siguiente comentario sea útil: Si nos dan un producto tensorial$V=V_1\otimes V_2$, donde suponemos que

• (i)$V$es una representación (completamente) reducible de$SU(2)\times U(1)$,

• (ii)$V_1$es un irrep de$SU(2)$, y

• (iii)$V_2$es un$1$-representación dimensional de$U(1)$,

entonces se sigue que$V_2$(y$V$) debe ser irreps también. Y por lo tanto$V_1$lleva una hipercarga débil fija, cf. Pregunta del título del OP.