¿Cuál es la idea detrás de contar el número de estados excitados y la representación de un grupo?

Mientras leía el Capítulo 1 de Polchinski, encontré lo siguiente en la página 24,

"Por ejemplo, el ( D − 1 ) representación vectorial dimensional de S O ( D − 1 ) se descompone en un invariante y un ( D − 2 ) -vector bajo el S O ( D − 2 ) actuando en las direcciones transversales,

v → = ( v 1 , 0 , 0 , … ) + ( 0. v 2 , v 2 , … , v D − 1 )

Así, si una partícula masiva está en la representación vectorial de S O ( D − 1 ) , veremos un escalar y un vector cuando observemos las propiedades de transformación en S 0 ( D − 2 ) . Esta idea se extiende a cualquier representación: siempre se puede reconstruir la totalidad S O ( D − 1 ) girar la representación del comportamiento bajo S O ( D − 2 ) . "

Puedo mostrar que el segundo estado excitado que viene dado por,

α − 1 i α − 1 j | 0 ⟩ ⨁ α − 2 i | 0 ⟩
dónde i , j corre de { 2 , D − 1 } y tratándolos simétricos, el no. de estados excitados sería ( D + 1 ) ( D − 2 ) 2 que coincide con las dimensiones de un irrep simétrico sin rastro de S O ( D − 1 ) .

Mi pregunta es ¿cómo podemos estar seguros con solo hacer coincidir números, y qué significa esto físicamente? ¿Existe un mecanismo para hacerlo de manera consistente? ¿Qué significa este negocio de "reconstruir S O ( D − 1 ) representación de S O ( D − 2 ) " significar ?

Sé un poco sobre la teoría de grupos, como Matrices de Cartan, Diagramas de Dynkin y el método Young Tableaux para la teoría SU(N), por lo que estaría bien si alguien pudiera darme una buena referencia. Una respuesta precisa, por supuesto, sería genial :).

Respuestas (1)

Puede descomponer la representación (irreductible) de grupos como una suma de representaciones (irreductibles) de subgrupos.

A partir de una representación irreductible simétrica sin rastro de S O ( D − 1 ) :

(1) R i j = 1 2 ( v i v j + v j v i ) − 1 D − 1 d i j ( ∑ i = 1 D − 1 v k v k ) , con ( i , j ) en [ 1 , D − 1 ]

Tú consideras X 1 como un escalar bajo un S O ( D − 2 ) transformación en X 2 , X 3 . . . X D − 1 , entonces tienes, descomponiendo R i j en representaciones irreductibles de S O ( D − 2 ) :

A) La representación trivial: R 11

B) La representación vectorial: R 1 i , con i en [ 2 , D − 1 ]

C) La representación simétrica sin rastro: R i j + d i j 1 D − 2 R 11 , con i , j en [ 2 , D − 1 ]

Hola, lo entendí para el segundo/tercer estado excitado, quería saber cómo se generaliza.
Quiso decir: Cómo descomponer cualquier representación irreductible de S O ( D − 1 ) en representaciones irreductibles de S O ( D − 2 ) ?
No, cómo extenderlo para estados más excitados. Y cómo identificar tal mapeo de manera única.
En mi humilde opinión, es lo mismo. Por ejemplo, α − 1 i está en la representación fundamental irreductible (vectorial) de S O ( D − 1 ) , ( α − 1 i α − 2 j − α − 1 j α − 2 i ) está en la representación antisimétrica irreductible de S O ( D − 1 ) etcétera.
¿Cuál es la idea detrás de contar el número de estados excitados y la representación de un grupo?
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