El isospin SU(2)SU(2)SU(2) para quark vs anti-quark: Fijar d¯=−|1/2,1/2>d¯=−|1/2,1/2>\bar {d}=-|1/2,1/2>?

El isospin para dos quarks tu , d , se elige que

tu = | 1 / 2 , 1 / 2 > , d = | 1 / 2 , − 1 / 2 > ,
en per fundamental de S tu ( 2 ) .

los anti-quarks tienen un representante anti-fundamental de S tu ( 2 ) [así mismo como el Rep fundamental de S tu ( 2 ) ],

d ¯ = − | 1 / 2 , 1 / 2 > , tu ¯ = | 1 / 2 , − 1 / 2 > ,

tenga en cuenta que hay un signo menos delante de la d ¯ = − | 1 / 2 , 1 / 2 > .

De alguna manera, el signo menos es crucial para obtener la función de onda de estado triplete y singlete correcta. es decir, tenemos

2 ⊗ 2 = 3 ⊕ 1
donde el 3 es el triplete (3 piones) y el 1 es el singlete (otro mesón), para los mesones pseudoescalares.

¿Por qué sabemos que debemos elegir d ¯ = − | 1 / 2 , 1 / 2 > ? En la página 169 del libro de Griffiths , dijo que el signo menos "es un detalle técnico, pero no afecta esencialmente el resultado".

Encuentro que el signo menos es muy crucial para obtener la función de onda correcta de pion π 0 ser uno de los trillizos

tu tu ¯ − d d ¯
= | 1 , 0 >= | 1 / 2 , 1 / 2 > | 1 / 2 , − 1 / 2 > + | 1 / 2 , − 1 / 2 > | 1 / 2 , 1 / 2 >

en lugar de ser un singlete

tu tu ¯ + d d ¯
= | 0 , 0 >

Entonces, ¿por qué sabemos que el signo menos está ahí y es clave para la física o no? Estoy preguntando una razón más profunda detrás de esto, porque sé que el signo menos tiene un 100% de sentido para las funciones de onda pion.

Respuestas (1)

Si parte de la transformación de los quarks bajo la representación fundamental de S tu ( 2 )

ψ i ′ = tu i j ψ j

y complejo conjugado en ambos lados, se obtiene

ψ ′ i ∗ = tu i j ∗ ψ j ∗

que se transforma bajo la representación anti-fundamental de S tu ( 2 ) .

Para tu ∈ S tu ( 2 ) , existe un S ∈ S tu ( 2 ) tal que S − 1 tu S = tu ∗ . Tenga en cuenta que esta es una propiedad especial restringida a S tu ( 2 ) solo matrices y no generaliza a S tu ( norte ) . Por lo tanto, la ecuación anterior en forma matricial se convierte en:

ψ ′ ∗ = ( S − 1 tu S ) ψ ∗ ⟹ S ψ ′ ∗ = tu ( S ψ ∗ )
Entonces S ψ ∗ se transforma como ψ . Resulta que en la representación de Pauli que S = i σ 2 , y esa es la razón del signo menos en sus ecuaciones como σ 2 tiene un signo menos en uno de los componentes y un signo más en el otro. En otras palabras

i σ 2 = [ 0 1 − 1 0 ]

y por lo tanto el signo menos.

Lo siento, estoy confundido ahora, así que no puedo aceptarte como la respuesta. Dijiste tu es hermitiano sin rastro, o realmente te refieres al generador T a en el álgebra de Lie no hay rastro (matrices de Pauli)???
En ese sentido, en la p.169 del libro de Griffiths, dijo que no es un tema esencial, en realidad es un signo menos muy importante, en mi opinión???!!!
@annieheart sí, eso fue un error tipográfico, gracias por señalarlo. con respecto a la declaración de griffiths, tal vez no la necesite en ningún cálculo posterior, por eso dice que no es un tema esencial.
El isospin SU(2)SU(2)SU(2) para quark vs anti-quark: Fijar d¯=−|1/2,1/2>d¯=−|1/2,1/2>\bar {d}=-|1/2,1/2>?
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