¿Qué es diferente en la representación?

Un grupo$G$por sí mismo no es un grupo de transformaciones lineales , es un objeto algebraico abstracto. Solo sus representaciones mapean sus elementos (inyectivamente si la representación es fiel) a elementos$\mathrm{Aut}(V)$de algún espacio vectorial$V$.

Ahora bien, la física parece no tener necesidad de un lenguaje tan abstracto al principio. Nuestro "espacio vectorial" es más o menos nuestro espacio-tiempo, y es más o menos$\mathbb{R}^4$, por lo que sus simetrías son realmente solo matrices en ese espacio-tiempo. La simetría de Lorentz es simplemente$\mathrm{SO}(1,3)$en su representación fundamental en el espacio de Minkowski$\mathbb{R}^{1,3}$, ¿bien? O la simetría rotacional no relativista es simplemente$\mathrm{SO}(3)$en$\mathbb{R}^3$, ¿bien?

... y luego está el momento angular y el giro. Si resuelve la ecuación de Schrödinger para los niveles de energía de un átomo de hidrógeno, encontrará que los niveles de energía se caracterizan por "números cuánticos"$(n,l,m,s)$. Ahora$n$Es aburrido. Pero$l$y$m$son valores propios del laplaciano esférico, y conducen a los amados armónicos esféricos $Y^l_m$como soluciones independientes. Resulta que, si rotas el sistema en el espacio, estos armónicos se comportan de manera diferente dependiendo de su$l$! Formalmente, el espacio

es un espacio vectorial, y lleva una representación del grupo de rotación$\mathrm{SO}(3)$! Pero no la fundamental, si$l > 1$. Entonces, su representación no fundamental surge únicamente al resolver las ecuaciones que describen un sistema físico.

Se vuelve aún más extraño para estos grupos de rotación, ya que también resulta que hay objetos, los fermiones, que no se transforman en una representación de$\mathrm{SO}(1,3)$o$\mathrm{SO}(3)$, pero en una representación de sus cubiertas universales,$\mathrm{Spin}(1,3)$o$\mathrm{SU}(2)$, respectivamente. No tienes oportunidad de describir los tipos de fenómenos que observas para los fermiones sin aceptar que se transforman de esa manera.

Y ese no es el final de la historia. Si construye una teoría de calibre con un grupo de calibre$G$, encontrará que la intensidad de campo asociada del campo de calibre debe transformarse como un elemento de la representación adjunta de$G$. Las representaciones no fundamentales impregnan muchos aspectos de la teoría del campo (cuántica) de esa manera.

Esto es lo que pensé:

En un sistema de física particular, un grupo de operadores simétricos (digamos que actúan sobre el espacio V de Hilbert) es un subgrupo del grupo L(V).

Por lo tanto, con la teoría de la representación, en lugar de tratar con L(V), podemos tratar con una representación irreducible L(A) que es sustancialmente más simple que L(V).

Es jodidamente increíble descubrir que algo tiene sentido por tu cuenta. (Aunque no sea cierto)