Fuerzas como vectores en la mecánica newtoniana

Question

Fuerzas como vectores en la mecánica newtoniana

AnatolyVorobey

Parece que estoy confundido acerca de la naturaleza de las fuerzas como vectores, en el marco básico de la mecánica newtoniana.

Sé lo que es un vector como objeto matemático, elemento de $R^3$ . Entiendo que si un vector se dibuja de la manera física habitual como una flecha en el espacio, se puede ver como un vector matemático traduciéndolo para que comience en 0 y viendo dónde termina la punta de la flecha. Generalmente parece que la palabra "vector" se usa de tal manera que un vector sigue siendo el mismo vector si se traslada arbitrariamente en el espacio (siempre correspondiente al mismo vector matemático).

Pero ahora digamos que tengo un objeto sólido, tal vez un cubo de metal, con algunas fuerzas actuando sobre él: lo empujo con un palo en el centro de una cara, lo sujeta con una cuerda en una esquina diferente, etc. Para especificar cada fuerza que está actuando sobre el cubo no parece suficiente para especificar el vector: también necesito especificar el lugar de aplicación. El cubo se comporta de manera diferente si lo empujo en el centro en lugar de en la esquina, etc.

Estoy leyendo Mecánica de JPDen Hartog que me enseña cómo encontrar la fuerza resultante en el cubo. Necesito sumar fuerzas una por una usando la ley del paralelogramo, pero siempre debo tener cuidado de deslizar cada fuerza a lo largo de su línea de aplicación, hasta que dos fuerzas se encuentren. Podría traducirlos todos para comenzar en el mismo punto y sumar, pero luego no encontraré la fuerza resultante correcta, solo su dirección y magnitud ; Todavía tendré que encontrar su línea de aplicación (tal vez usando momentos, etc.)

Así que digamos que estoy calculando la fuerza resultante "de la manera correcta": deslizando flechas a lo largo de sus líneas hasta que las colas se encuentren, sumando, repitiendo. ¿Qué estoy haciendo matemáticamente? (no es una suma de vectores, eso correspondería simplemente a traducirlos todos a 0 y sumar) ¿Con qué objetos matemáticos estoy trabajando? Parecen especificarse con 4 parámetros libres: 3 para dirección/magnitud del vector y 1 más para desplazarlo a la línea correcta de aplicación; la ubicación en la línea de aplicación parece irrelevante según las leyes de la estática.

Respuestas (5)

Fuerzas como vectores en la mecánica newtoniana

tobías · Answer 1

En 3 dimensiones, deslizar las fuerzas en la línea de aplicación hasta que las fuerzas se encuentren no siempre funciona porque las dos líneas de aplicación pueden estar sesgadas.

Para capturar la línea de aplicación es bueno trabajar con pares de fuerzas y pares. (Puede transformar la línea de aplicación de una fuerza agregando un momento de torsión que actúa sobre el cuerpo rígido. De esta manera puede encontrar un representante cuya línea de aplicación pasa por el origen). Hay un álgebra de vectores lineales que funciona para tales pares de fuerzas y pares.

Encontrarás una descripción de este material en:

R. Featherstone: El cálculo de la dinámica del robot utilizando inercias de cuerpo articulado. Revista internacional de investigación en robótica, vol. 2, No. 1, primavera de 1983.

En los comentarios a continuación, mencioné que las fuerzas generalizadas (fuerza y par) en el cuerpo rígido son una consecuencia de las restricciones del cuerpo rígido y que las fuerzas lineales son útiles pero no necesarias para la mecánica newtoniana. A continuación, bosquejo cómo las restricciones del cuerpo rígido conducen a las fuerzas generalizadas. (Tenga en cuenta nuevamente que esto es solo un boceto simplificado).

Las restricciones de cuerpo rígido se pueden establecer como el requisito de que la colocación del cuerpo rígido en el espacio (euclidiano) sea una isometría que conserva la orientación:

\begin{aligned} r^{L} \mapsto r (r^{L}) = r^{S} + R \cdot r^{L} \end{aligned}

$\begin{align} \def\l{\left}\def\r{\right}\def\rmL{{\rm L}}\def\rmS{{\rm S}}\def\ph{{\varphi}}\def\SO{{\rm SO}} \def\nR{{\mathbb{R}}} r^\rmL\mapsto r(r^\rmL) = r^\rmS + R\cdot r^\rmL \end{align}$ dónde

r^{L}

$r^\rmL$ son coordenadas locales,

r^{S}

$r^\rmS$ es un vector de desplazamiento (3d) y

R

$R$ es una matriz de rotación (3x3, ortogonal). El desplazamiento virtual correspondiente está limitado por

\begin{aligned} d r & = d r^{S} + (d R) \cdot r^{L} \\ = d r^{S} + d φ \times (R \cdot r^{L}) \end{aligned}

$\begin{align} \delta r &= \delta r^\rmS + (\delta R)\cdot r^\rmL\\ &=\delta r^\rmS + \delta\ph \times (R\cdot r^\rmL) \end{align}$ dónde

δ r^{S}

$\delta r^\rmS$ es el desplazamiento virtual del cuerpo rígido y

δ φ

$\delta\ph$ es su desplazamiento angular virtual. Ahora, supongamos que hay una densidad de fuerza (volumen)

f

$f$ aplicado al cuerpo rígido. Las fuerzas generalizadas

F

$F$ y

T

$T$ para las coordenadas generalizadas

r^{S}

$r^\rmS$ y

R

$R$ (con la dimensión de la variedad

S O (R^{3})

$\SO(\nR^3)$ igual a tres) resultado de la ecuación

\begin{aligned} \int_{r \in r^{S} + R \cdot (B)} d r \cdot F d V & = \int_{r^{L} \in B} (d r^{S}) \cdot F d V + \int_{r^{L} \in B} (\tilde{φ} \times (R \cdot r^{L})) \cdot F d V \\ = (d r^{S}) \cdot \int_{r^{L} \in B} F d V + d φ \cdot \int_{r^{L} \in B} (R \cdot r^{L}) \times F d V \end{aligned}

$\begin{align} \int_{r\in r^\rmS+R\cdot (B)} \delta r \cdot f d V &= \int_{r^\rmL\in B} \l(\delta r^\rmS\r) \cdot f dV + \int_{r^\rmL\in B} \l(\tilde\ph \times (R\cdot r^\rmL)\r)\cdot f dV\\ &= \l(\delta r^\rmS\r) \cdot \int_{r^\rmL\in B} fdV + \delta\ph \cdot \int_{r^\rmL\in B} (R\cdot r^\rmL)\times f dV \end{align}$ el coeficiente

\begin{aligned} F := \int_{r^{L} \in B} F d V \end{aligned}

$\begin{align} F := \int_{r^\rmL\in B} fdV \end{align}$ del desplazamiento virtual

δ r^{S}

$\delta r^\rmS$ es la fuerza total aplicada al cuerpo rígido y el coeficiente

\begin{aligned} T := \int_{r^{L} \in B} (R \cdot r^{L}) \times F d V \end{aligned}

$\begin{align} T := \int_{r^\rmL\in B} (R\cdot r^\rmL)\times f dV \end{align}$ del desplazamiento angular virtual

δ φ

$\delta\ph$ es el par total que actúa sobre el cuerpo rígido.

gracias, "vectores de línea" es una gran ventaja como término. Ahora encuentro su discusión como un formalismo en todo tipo de libros sobre mecánica, aunque en su mayoría desde una perspectiva de ingeniería o más antiguos. Pero, ¿por qué no se usa más a menudo? ¿No sería justo decir que una presentación completa de la mecánica newtoniana requiere vectores lineales para dar sentido a cómo se combinan las fuerzas?
@Avva Es una cuestión de gusto si realmente introduce explícitamente vectores de línea. El uso del álgebra de vectores lineales en la mecánica del cuerpo rígido es el resultado de las restricciones del cuerpo rígido. AFAIK no se usan en un sentido axiomático. Por lo tanto: en mi opinión, la introducción de fuerzas lineales no es necesaria para la mecánica newtoniana. Pero, puede ser útil .

garyp · Answer 2

Cuando traduces y agregas, obtienes el vector correcto. El punto de aplicación es otra cosa, no forma parte de la definición del vector. Información adicional que debe ser suministrada. La adición a la que se refiere en su último párrafo no es "algo más". Es la suma de vectores.

Me sorprende que más personas no tengan la confusión que tú tienes.

Relacionado: No hay nada en la definición matemática de un vector que permita moverlo. Eso es un truco de mano que los físicos utilizan para ayudar a simplificar el análisis. Es más sólido desde el punto de vista matemático considerar que cada punto en el espacio es el origen de su propio espacio vectorial, pero eso agrega demasiado análisis adicional y oscurece la física. Pero, el truco funciona muy bien en el espacio euclidiano. Creo que tal vez esté sintiendo que algo no está del todo bien en la forma en que se usan los vectores en física. Modelar el espacio real como un espacio vectorial funciona, pero tiene inconvenientes. Por ejemplo, asigna un estatus especial al origen mientras que no hay un estatus especial físico a ningún punto en el espacio real.

Por ejemplo, Featherstone diferencia entre vectores de línea y vectores libres . El álgebra de vectores lineales conduce a pares de fuerzas y momentos de torsión. Esto se utiliza en la mecánica multicuerpo.
¿Podríamos decir que los vectores con un punto de aplicación son vectores tangentes?
@jinawee Me voy a meter en problemas si paso a las matemáticas en las que no soy un experto, pero diría que esos vectores son miembros del paquete tangente del espacio euclidiano, lo que los convierte en candidatos para ser vectores tangentes. Ya sea que sean o no vectores técnicamente tangentes , no arriesgaré una opinión. Aclaraciones bienvenidas.

bernardo · Answer 3

Creo que a lo que estás llegando será a la mecánica rotacional.

Siempre que los objetos solo se traduzcan, puede resumir lo forzado y calcular los resultados para el objeto, como usted entiende.

Cuando un objeto puede girar libremente, la historia se vuelve mucho más compleja y el punto de ejercicio de una fuerza se vuelve mucho más importante. Puede probarlo fácilmente con el más cercano. Trate de cerrarlo empujando cerca de la bisagra y luego más lejos.

Puedo escribir una historia completa aquí que explique estos conceptos, pero Wikipedia tiene algunos artículos interesantes para ti.

Torque - también momento de fuerza. Tiene en cuenta esta distancia.
Momento angular : como el momento lineal, pero luego para la rotación.

Espero que esto le dé algunas respuestas a sus preguntas.

Avva pregunta por la estructura matemática de la suma de fuerzas sobre cuerpos rígidos. Esta respuesta y los enlaces no apuntan a esta pregunta.
Creo que su respuesta no entendió el punto de mi pregunta (¡estoy seguro de que podría expresarlo mejor!). Sé lo que son el par, el momento angular, etc. Estoy tratando -fundamentalmente- de entender el formalismo matemático correcto para toda la mecánica newtoniana, cuando los cuerpos no son meras partículas con masa, cuando hay rotación, etc. En esa imagen completa, ¿cómo se representa la fuerza como un objeto matemático, y ¿Qué estamos haciendo matemáticamente cuando sumamos fuerzas para obtener una fuerza resultante?
@Awa De su pregunta, tuve la impresión de que no sabía sobre la dinámica de rotación. Creo que no entiendo lo que realmente estás tratando de preguntar.

usuario541686 · Answer 4

tl; dr: no se pueden superponer fuerzas cuando actúan sobre cosas diferentes.

Un objeto no es lo mismo que su centro de masa. Bajo ciertas condiciones (cuerpo rígido, fuerza directamente en línea con el centro de masa, etc.) puede suponer que el objeto es una partícula puntual en la ubicación de su centro de masa y, por lo tanto, puede sumar los vectores de fuerza porque son actuando sobre la misma partícula. Pero cuando ese no es el caso, no puedes simplemente sumar las fuerzas, están actuando sobre diferentes partículas. Eso puede resultar en efectos de torsión, elasticidad, etc., que ahora debe tener en cuenta porque el sistema ya no puede reducirse a una simple partícula puntual.

Juan Alexiou · Answer 5

Las fuerzas no son vectores. Las fuerzas son líneas tridimensionales, con una magnitud y un paso.

Una fuerza actúa a través de una línea en el espacio. De la geometría, necesita 4 cantidades para definir completamente una línea 3D. Esta es la razón por la que puede deslizar un vector de fuerza a lo largo de su línea de dirección .
Una magnitud describió cuánta fuerza a lo largo de esta línea y necesitas 1 cantidad para describir esto (¡duh!) Para un total de 5 cantidades hasta este punto.
Para una fuerza pura, 5 cantidades son suficientes, pero es posible tener un par paralelo a la línea de acción. La relación entre la magnitud del par y la magnitud de la fuerza se denomina paso y describe un tornillo 3D en el espacio (consulte el libro de Roy Featherstone mencionado anteriormente). Entonces, un tornillo de fuerza (también llamado llave inglesa) necesita 6 parámetros para estar completamente definido.

Estos por lo general se especifican como los vectores de fuerza y momento de torsión en algún punto A en el espacio. Así es como puedes tomar 3 cantidades de una fuerza $\vec{F}$ y las 3 cantidades de un par en $\vec{\tau}_A$ y deduzca las propiedades del tornillo de este sistema equipolento.

Magnitud (escalar) $F = | \vec{F} |$ $F = |\vec{F}|$
Dirección (vectorial) $\vec{mi} = \frac{\vec{F}}{F}$ $\vec{e} = \frac{ \vec{F}}{F}$
Ubicación en la línea más cercana al punto A (vector) $\vec{r} = {\vec{r}}_{A} + \frac{\vec{F} \times {\vec{τ}}_{A}}{F^{2}}$ $\vec{r} = \vec{r}_A + \frac{ \vec{F} \times \vec{\tau}_A }{ F^2 }$
Tono (escalar) $h = \frac{\vec{F} \cdot {\vec{τ}}_{A}}{F^{2}}$ $h = \frac{\vec{F}\cdot\vec{\tau}_A}{F^2}$

Ver esta respuesta para más detalles.

Fuerzas como vectores en la mecánica newtoniana

AnatolyVorobey

Respuestas (5)

tobías

AnatolyVorobey

tobías

garyp

tobías

Jinawee

garyp

bernardo

tobías

AnatolyVorobey

bernardo

usuario541686

Juan Alexiou

Cuando una persona tira o empuja un carro, ¿por qué es ventajoso que su cuerpo esté inclinado hacia adelante?

¿Dónde actúa la pseudo fuerza?

Confusión sobre los componentes del movimiento circular

¿Por qué la fuerza se suma como un vector?

¿Cuál es el uso de los vectores para las fuerzas? [duplicar]

Un bloque en un plano inclinado

¿Cuál es la fuerza radial resultante que genera el movimiento circular de una masa puntual que rueda por una esfera ubicada en la superficie de la Tierra?

¿Cuál es el significado físico del trabajo?

¿Por qué obtengo dos resultados de un solo diagrama de cuerpo libre?

¿Cómo demostramos que la fuerza hacia abajo de una cuerda sin masa en una polea alrededor de la cual se enrolla es 2T2T2T?