¿Cómo demostramos que la fuerza hacia abajo de una cuerda sin masa en una polea alrededor de la cual se enrolla es 2T2T2T?

Tomé esta foto de uno de los libros de problemas de Morin.

Todo el sistema está bajo la influencia de la gravedad. Las cuerdas no tienen masa y el círculo no tiene masa.

La pregunta original pide dar la fuerza que la mano debe ejercer sobre la polea para evitar que la polea acelere hacia abajo. Las masas son libres de moverse, como lo harán si una de las masas es mayor que la otra. Lo que queremos mantener quieto es el círculo real.

Mi pregunta tiene que ver con un paso específico:

¿Por qué la fuerza que debemos aplicar desde arriba debe ser igual a$2T$? Sé la respuesta obvia:

"Bueno, porque si analizas el sistema, hay dos partes de la cuerda tirando hacia abajo de la polea, cada una tirando hacia abajo con una tensión$T$".

Pero lo que quiero ver es cómo una cuerda que tiene una tensión de$T$correr a través de él y se enrolla alrededor de un círculo hace que la cuerda ejerza$2T$en el circulo

El argumento de que es la fuerza neta hacia abajo en realidad no es suficiente: si esas secciones que apuntan hacia abajo estuvieran colgando de la polea, entonces el argumento sería suficiente.

Pero en este caso, la cuerda se enrolla alrededor de la polea, con cada pequeña sección$dl$de cuerda que ejerce una cantidad diferente de fuerza en la dirección vertical sobre la polea. Me gustaría ver cómo la suma de todas las fuerzas ejercidas hacia abajo sobre la polea por la cuerda enrollada sobre ella suman$2T$.

Mi pregunta se reformuló de una manera más simple:

¿Cómo integramos la fuerza normal de pequeños trozos de cuerda sobre toda la polea circular para obtener una fuerza vertical total de$2T$¿en eso?

Aquí está mi trabajo hasta ahora:

Empezamos con la cuerda enrollada alrededor de la polea, con una tensión de$T$corriendo a través de él. No dibujé las masas en la parte inferior de la cuerda, pero la fuerza neta de la cuerda es hacia abajo.

Entonces consideramos un pequeño segmento de cuerda$dL$subtendiendo un pequeño ángulo$d \theta$

Dado que estamos considerando la cuerda en una superficie infinitamente pequeña del círculo, es perpendicular al radio del círculo.

La cantidad de fuerza aplicada en nuestro$dL$desde la derecha es$T$, y desde la izquierda es$T$.

Para obtener la componente de la fuerza hacia el círculo y, por lo tanto, la fuerza normal, debemos considerar la componente que apunta hacia el círculo desde cualquier lado,$Tsin(\frac{d\theta}{2})$, y luego súmelos para obtener una fuerza normal total de$2Tsin(\frac{d\theta}{2})$apuntando HACIA ese círculo (no necesariamente hacia abajo).

Aaaay, no estoy seguro de qué hacer desde aquí...

¡Gracias!