Dispersión en gϕ3gϕ3g\phi^3-Theory

Question

Dispersión en gϕ3gϕ3g\phi^3-Theory

Física
integral de trayectoria
Feynman-diagramas
formalismo lagrangiano
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

Kenneth contra B.

Tengo que considerar el QFT con el Lagrangiano

L = \underset{= L_{0}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \partial_{m} ϕ \partial^{m} ϕ - \frac{{metro}^{2}}{2} ϕ^{2}}} \underset{L_{En t}}{\underset{⏟}{- \frac{gramo}{6} ϕ^{3}}} .

$\mathscr{L}=\underbrace{\frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{m^2}{2}\phi^2}_{=\mathscr{L}_0}\underbrace{-\frac{g}{6}\phi^3}_{\mathscr{L}_{\text{int}}}.$

La cuestión es encontrar la función de dos puntos conexa y ordenada en el tiempo hasta el orden $g^2$ .

En general $n$ Las funciones puntuales están dadas por

{GRAMO}^{(norte)} = (- i)^{norte} {[\frac{1}{Z (0)} \frac{d}{d j (X_{1}) \cdot} \cdot . . . \cdot \frac{d}{d j (X_{norte}) \cdot} Z (j)]}_{j = 0}

$G^{(n)}=(-i)^n\left[\frac{1}{Z(0)} \frac{\delta}{\delta J(x_1)\cdot}\cdot ...\cdot\frac{\delta}{\delta J(x_n)\cdot} Z(J)\right]_{J=0}$

Como solo estoy interesado en la función de dos puntos, solo tengo

{GRAMO}^{(2)} = - {[\frac{1}{Z (0)} \frac{d}{d j (X_{1}) \cdot} \frac{d}{d j (X_{2}) \cdot} Z (j)]}_{j = 0} .

$G^{(2)}=-\left[\frac{1}{Z(0)} \frac{\delta}{\delta J(x_1)\cdot}\frac{\delta}{\delta J(x_2)\cdot} Z(J)\right]_{J=0} .$

Esto significa que necesito la función de partición Z(J):

Z (j) = \int D ϕ Exp [i \int d^{4} X (L_{0} + L_{En t} - j (X) ϕ (X))] = Z_{0} (j) \cdot Exp [i \int d^{4} X L_{En t}]

$Z(J)=\int \mathscr{D} \phi \exp\left[i\int d^4x \left(\mathscr{L}_0+\mathscr{L}_{\text{int}}-J(x)\phi(x)\right)\right]=Z_0(J)\cdot \exp\left[i\int d^4x\;\mathscr{L}_{\text{int}} \right]$

= Z_{0} (j) \cdot Exp [- i \frac{gramo}{3!} \int d^{4} X ϕ^{3} (X)]

$= Z_0(J)\cdot \exp\left[-i\frac{g}{3!}\int d^4x\;\phi^3(x) \right]$

Ahora puedo expandir esto hasta el segundo orden de la función exponencial

(1 - i \frac{gramo}{3!} \int d^{4} X_{1} {(- i \frac{d}{d j (X_{1})})}^{3} + \frac{(- i)^{2}}{2!} {(\frac{gramo}{3!})}^{2} \int d^{4} X_{1} d^{4} X_{2} {(- i \frac{d}{d j (X_{1})})}^{3} {(- i \frac{d}{d j (X_{2})})}^{3})

$\left(1-i\frac{g}{3!}\int d^4 x_1 \;\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)^3+\frac{(-i)^2}{2!}\left(\frac{g}{3!}\right)^2 \int d^4x_1 d^4 x_2 \;\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)^3\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_2)}\right)^3 \right)$

\cdot Exp [- \frac{i}{2} \int d^{4} z_{1} d^{4} z_{2} j (z_{1}) GRAMO (z_{1} - z_{2}) j (z_{2})]

$\cdot \exp\left[-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4z_2 \; J(z_1) G(z_1-z_2)J(z_2)\right]$

Esto significa a la orden $g^0$ deberíamos tener el propagador libre $G^{(2)}_0(x_1,x_2)=G(x_1,x_2)$ . Los puntos $x_1$ y $x_2$ conectado por una línea.

Ahora viene la parte con la que estoy atascado:

El $\int d^4 x_1 \;\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)^3$ part debe darnos un vértice con 3 patas. si me conecto $x_1$ al vértice tengo 3 opciones y luego 2 con $x_2$ al vértice. Pero luego queda una conexión. No sé qué hacer con eso, probablemente porque no estoy seguro de lo que significa uno de estos diagramas en términos de interacciones de partículas reales. No estoy seguro de si esto da como resultado uno de estos diagramas de renacuajos sobre los que leí (no estoy seguro de qué significa "eliminar la fuente").
Y otra confusión son estos propagadores que encontré cuando hice una investigación sobre esta teoría.

¿Están conectados a la burbuja de vacío o están relacionados con mi pregunta?

Agradezco cualquier ayuda para resolver mi confusión.

c y f

Las burbujas de vacío que dibujaste allí contribuyen, si quieres, a la función de punto cero.

⟨ 0 | 0 ⟩

$\langle 0 | 0 \rangle$ en segundo orden. La normalización de cualquier correlador de n puntos es tal que estos se eliminan orden por orden en la teoría de perturbaciones.

Respuestas (2)

Dispersión en gϕ3gϕ3g\phi^3-Theory

Las burbujas de vacío que dibujaste allí contribuyen, si quieres, a la función de punto cero. $\langle 0 | 0 \rangle$ en segundo orden. La normalización de cualquier correlador de n puntos es tal que estos se eliminan orden por orden en la teoría de perturbaciones.

c y f · Answer 1

El vértice de tres patas que mencionas surge en la función de tres puntos en $\mathcal O(g)$ . Todas las contribuciones a la función de dos puntos hasta $\mathcal O(g^2)$ tendrá, en forma de diagrama de Feynman, dos puntos de origen etiquetados $x_1$ , $x_2$ con cero, uno o dos vértices de interacción, con acoplamiento $g$ .

En particular, evaluando

Z [j] \sim Exp (- i \frac{gramo}{3!} \int d^{4} X {(\frac{d}{d j (X)})}^{3}) Exp (- \frac{i}{2} \int d^{4} z_{1} d^{4} z_{2} j (z_{1}) GRAMO (z_{1} - z_{2}) j (z_{2}))

$Z[J] \sim \exp \left(-i\frac{g}{3!} \int d^4 x\, \left(\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)^3 \right) \exp \left(-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4 z_2 J(z_1) G(z_1-z_2) J(z_2)\right)$ sistemáticamente a través de una expansión perturbativa en

g

$g$ Puedes obtener todos los diagramas. a la orden

g^{0}

$g^0$ de hecho, todo lo que encuentras es el propagador

G (x_{1} - x_{2})

$G(x_1-x_2)$ entre dos puntos de origen. a la orden

g^{0}

$g^0$ ,

⟨ 0 | T (ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2})) | 0 ⟩ = \frac{1}{Z [0]} \frac{d}{d j (X_{1})} \frac{d}{d j (X_{2})} Exp (- \frac{i}{2} \int d^{4} z_{1} d^{4} z_{2} j (z_{1}) GRAMO (z_{1} - z_{2}) j (z_{2})) |_{j = 0}

$\langle 0 | T(\phi(x_1)\phi(x_2))|0\rangle = \frac{1}{Z[0]} \frac{\delta}{\delta J(x_1)} \frac{\delta}{\delta J(x_2)} \exp \left(-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4 z_2 J(z_1) G(z_1-z_2) J(z_2)\right)|_{J=0}$

a la orden $g$ , tienes tres derivadas funcionales en $\mathcal L_{\text{int}}$ que al actuar sobre $Z_0[J]$ se desvanecen por un exceso de términos fuente después de la diferenciación que se anula precisamente por la $J=0$ delimitador

En $\mathcal O(g^2)$ , tienes seis derivadas funcionales y existe una contribución que no se desvanece cuando estas actúan sobre el término de cuarto orden de $Z_0[J]$ solo. La interpretación es que tres derivadas actúan en un vértice dando los tres vértices $\phi^3$ interacción, otros tres actúan sobre otro vértice y las dos fuentes sobrantes se identifican con $x_1$ y $x_2$ después de actuar con $\delta/\delta J(x_1)$ y $\delta/\delta J(x_2)$ .

Como ejercicio, convénzase de que los términos de orden inferior/superior en $Z_0[J]$ no puede contribuir en $\mathcal O(g^2)$ a la función de dos puntos. Por supuesto, en general contribuirán a otros $n$ -funciones puntuales.

¿Y cómo funciona el $\frac{\delta}{\delta J(x_2)}$ guiarse por $\exp\left[-\frac{i}{2}\int d^4 z_1 d^4 z_2 J(z_1)G(z_1-z_2)J(z_2) \right]$ ? No estoy acostumbrado a los derivados funcionales. yo se la relacion $\frac{\delta}{\delta J(x_1)} \int d^4 y J(y)\phi(y)=\phi(x_1)$ ¿Esto ayuda para mi evaluación?
@Kennethv.B. Utiliza la regla del producto, junto con, por ejemplo $\delta J(z_1)/\delta J(x_2) = \delta(z_1-x_2)$ y $\int d^4 z_1 \delta(z_1-x_2) \phi(z_1) = \phi(x_2)$ . ¿Está limpio? Sí esa relación ayuda: es $\int d^{4} y \frac{d j (y)}{d j (X_{1})} ϕ (y) = \int d^{4} y d (y - X_{1}) ϕ (y) = ϕ (X_{1})$ $\int d^4 y \frac{\delta J(y)}{ \delta J (x_1)} \phi(y) = \int d^4 y \delta(y-x_1)\phi(y) = \phi(x_1)$

picop · Answer 2

picop

Tal vez te estés confundiendo con las variables aquí. Lo que calculas en la última parte de tu texto son algunos gráficos de vacío, porque no has incluido las derivadas que escribes en $G^{(2)}$ . Con estos, tendrías que golpear algunos propagadores para conectarte a los puntos externos. $x_1$ y $x_2$ . Encontrarás una corrección de un lazo, con dos vértices internos pero vendrá del término $\frac1{2!} L_{int}^2$ , y de hecho el término $L_{int}$ no contribuirá a la función de dos puntos (todos los términos que crea tienen un extra $J$ que se desvanece después de que te pones $J=0$ ).

Kenneth contra B.

Entonces por orden

g^{0}

$g^0$ tengo que calcular

- {[\frac{1}{Z (0)} \frac{d}{d j (X_{1})} \frac{d}{d j (X_{2})} Exp [- \frac{i}{2} \int d^{4} z_{1} d^{4} z_{2} j (z_{1}) GRAMO (z_{1} - z_{2}) j (z_{2})]]}_{j = 0}

$-\left[\frac{1}{Z(0)}\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\frac{\delta}{\delta J(x_2)} \exp\left[-\frac{i}{2} \int d^4 z_1 d^4z_2 \; J(z_1) G(z_1-z_2)J(z_2)\right]\right]_{J=0}$ ¿Cómo aplico la derivada a las J? No estoy muy familiarizado con los derivados funcionales y cómo actúan sobre las G.

picop

@Kennethv.B. en efecto !

Kenneth contra B.

Edité mi primer comentario (sin notificación, supongo). ¿Cómo aplico la derivada a las J? No estoy muy familiarizado con las derivadas funcionales y cómo actúan sobre las J en la Integral.

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