Preguntas sobre el efecto Stark sobre el hidrógeno

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Preguntas sobre el efecto Stark sobre el hidrógeno

Física
hidrógeno
mecánica cuántica
teoría de la perturbación

asdf

Suponga que un átomo de hidrógeno está sujeto a un campo eléctrico uniforme débil $\vec{E}=\epsilon \hat{z}$ . Despreciemos el efecto del espín del electrón. La perturbación añadida al hamiltoniano original $H_0$ es $H^{'}=e\epsilon Z$ .

Q1. El cambio de energía para el estado fundamental está dado por

{mi}_{1} = - \frac{1}{2} metro C^{2} α^{2} \frac{1}{{norte}^{2}} + mi ϵ ⟨ 100 | mi ϵ Z | 100 ⟩ + \sum_{norte = 2}^{\infty} \frac{| ⟨ norte 10 | mi ϵ Z | 100 ⟩ |^{2}}{{mi}_{1}^{0} - {mi}_{norte}^{0}}

$E_1 =-\frac{1}{2}mc^2\alpha^2\frac{1}{n^2} +e\epsilon \langle100|e\epsilon Z|100\rangle +\sum_{n=2}^\infty \frac{|\langle n10|e\epsilon Z|100\rangle|^2}{E_1^0-E_n^0}$ La perturbación de primer orden en la energía es

0

$0$ y la mayoría de los libros de texto de mecánica cuántica explican el efecto Stark solo hasta este punto. Encontré en Internet que el valor exacto de la segunda perturbación (el tercer término en la RHS) es

- \frac{9}{4} a_{0}^{3} ϵ^{2}

$-\frac{9}{4} a_0^3 \epsilon^2$ dónde

a_{0} = \frac{ℏ^{2}}{m e^{2}}

$a_0=\frac{\hbar^2}{me^2}$ es el radio de Bohr. ¿Cómo puedo calcular este valor?

Q2. ¿Qué pasa con la perturbación de primer orden? $|100^{(1)}\rangle$ del estado fundamental $|100\rangle$ ?

| 100^{(1)} ⟩ = \sum_{norte = 2}^{\infty} \frac{| norte 10 ⟩ ⟨ norte 10 | mi ϵ Z | 100 ⟩}{{mi}_{1}^{0} - {mi}_{norte}^{0}}

$|100^{(1)}\rangle\,=\sum_{n=2}^\infty \frac{|n10\rangle\langle n10|e\epsilon Z|100\rangle}{E_1^0-E_n^0}$

Zumbido

Tus ecuaciones son realmente incorrectas, aunque de una manera sutil. Las sumas que has escrito solo se exceden

p_{z}

$p_{z}$ estados; sin embargo, también hay estados no ligados (continuos) que contribuyen como intermediarios virtuales.

asdf

@Buzz Gracias por comentar. Usé la paridad del hidrógeno y la relación de conmutación del mismo con

L_{z}

$L_z$ función de onda para eliminar otros términos que nos darán 0. ¿Qué significan exactamente los estados ilimitados?

Zumbido

El espectro del hamiltoniano para un

1 / r

$1/r$ potencial contiene un conjunto de estados discretos estados con energías

E < 0

$E<0$ (ligado) y un continuo de estados con energías

E > 0

$E>0$ (sin consolidar). (Éstas son análogas a las órbitas elípticas e hiperbólicas en el problema clásico de Kepler). A grandes distancias, donde el potencial es casi insignificante, los estados continuos pueden parecerse a los estados propios de onda plana del hamiltoniano de electrones libres; sin embargo, están fuertemente distorsionados a distancias más cortas. Los estados independientes pueden tener los valores de momento angular correctos para contribuir a la suma.

Respuestas (2)

Preguntas sobre el efecto Stark sobre el hidrógeno

Tus ecuaciones son realmente incorrectas, aunque de una manera sutil. Las sumas que has escrito solo se exceden $p_{z}$ estados; sin embargo, también hay estados no ligados (continuos) que contribuyen como intermediarios virtuales.
@Buzz Gracias por comentar. Usé la paridad del hidrógeno y la relación de conmutación del mismo con $L_z$ función de onda para eliminar otros términos que nos darán 0. ¿Qué significan exactamente los estados ilimitados?
El espectro del hamiltoniano para un $1/r$ potencial contiene un conjunto de estados discretos estados con energías $E<0$ (ligado) y un continuo de estados con energías $E>0$ (sin consolidar). (Éstas son análogas a las órbitas elípticas e hiperbólicas en el problema clásico de Kepler). A grandes distancias, donde el potencial es casi insignificante, los estados continuos pueden parecerse a los estados propios de onda plana del hamiltoniano de electrones libres; sin embargo, están fuertemente distorsionados a distancias más cortas. Los estados independientes pueden tener los valores de momento angular correctos para contribuir a la suma.

artem alexandrov · Answer 1

Q1 . Hay al menos dos formas de calcular la corrección de segundo orden. Permítanme primero esbozar la idea y luego proporcionar algunas referencias. Primero, debes tener en cuenta el teorema de Feynman-Hellman,

\frac{\partial F_{norte} (λ)}{\partial λ} = ⟨ norte | \frac{\partial \hat{F}}{\partial λ} | norte ⟩,

$\frac{\partial f_n(\lambda)}{\partial \lambda}=\left\langle n\right|\frac{\partial \hat{f}}{\partial \lambda}\left| n\right\rangle,$ dónde

f

$f$ es un operador y

λ

$\lambda$ es un parámetro. En el caso del átomo de hidrógeno 1s, sabe que la interacción con el campo eléctrico y esta expresión se convierte en

\frac{\partial d ϵ}{\partial mi} = ⟨ 0 | \frac{\partial H}{\partial mi} | 0 ⟩,

$\frac{\partial \delta \epsilon}{\partial E}=\langle 0|\frac{\partial H}{\partial E}|0\rangle,$ dónde

E

$E$ es campo eléctrico. Entonces,

\frac{\partial d ϵ}{\partial mi} = α mi \to d ϵ = - \frac{α^{2} mi}{2} \to α = - \frac{2 d ϵ}{{mi}^{2}}

$\frac{\partial \delta \epsilon}{\partial E}=\alpha E\rightarrow \delta\epsilon=-\frac{\alpha^2E}{2}\rightarrow\boxed{\alpha=-\frac{2\delta\epsilon}{E^2}}$ con

α

$\alpha$ es la polarización del átomo. La última expresión da la idea de cómo calcular el efecto Stark de segundo orden: debe conocer la corrección de energía de segundo orden. Entonces, ya sabes cómo evaluar esta corrección,

d ϵ = \sum_{norte \neq 1} \frac{| ⟨ norte | \hat{V} | 1 ⟩ |^{2}}{ϵ_{1}^{(0)} - ϵ_{norte}^{(0)}},

$\delta \epsilon=\sum_{n\neq 1}\frac{|\langle n|\hat{V}|1\rangle|^2}{\epsilon_1^{(0)}-\epsilon_n^{(0)}},$ dónde

\hat{V} = - E \hat{r} \cos θ

$\hat{V}=-E\hat{r}\cos\theta$ (establecemos el campo eléctrico en

z

$z$ -dirección). Es posible realizar la suma, al menos verificar que la suma converja. Sin embargo, hay una manera más eficiente de encontrar

δ ϵ

$\delta\epsilon$ ,

d ϵ = ⟨ ψ^{(1)} | \hat{V} | ψ^{(0)} ⟩,

$\delta \epsilon = \langle\psi^{(1)}|\hat{V}|\psi^{(0)}\rangle,$ dónde

ψ^{(1)}

$\psi^{(1)}$ y

ψ^{(0)}

$\psi^{(0)}$ son función de onda corregida de primer orden y función de onda sin perturbación. Es bastante sencillo (si necesita más detalles, los agregaré) encontrar que

ψ^{(1)} = \frac{2 mi r}{\sqrt{r}} (1 - \frac{r}{2}) {mi}^{- r} Y_{10} (θ, ϕ) .

$\boxed{\psi^{(1)}=\frac{2Er}{\sqrt{r}}\left(1-\frac{r}{2}\right)e^{-r}Y_{10}(\theta,\phi).}$ Luego, el paso final es calcular la integral (si necesita más detalles, los agregaré) y la respuesta es

d ϵ = - \frac{9 {mi}^{2}}{4} \to α = \frac{9}{2} .

$\delta\epsilon=-\frac{9E^2}{4}\rightarrow\alpha=\frac{9}{2}.$

Hay una forma más interesante de encontrar la corrección de segundo orden. El potencial de Coulomb tiene la integral de movimiento adicional, el vector de Runge-Lenz. Significa que uno puede separar variables no solo en coordenadas esféricas, sino también en coordenadas parabólicas. Puede encontrar detalles en el tercer volumen del Curso de física teórica de Landau (párrafos 76, 77)

Ian Mackendrick · Answer 2

Debe integrar R*Y, donde R es una función de onda radial e Y es un armónico esférico con una perturbación intermedia. Si solo considera el primer estado excitado y el estado fundamental, ¿creo que la suma desaparece?

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