Eje instantáneo de rotación de un cuerpo rígido.

Question

Eje instantáneo de rotación de un cuerpo rígido.

Física
rotación
dinámica de cuerpo rígido
dinámica-rotacional

Sørën

Para la descripción del movimiento de un cuerpo rígido, cualquier punto $O$ del cuerpo rígido podría tomarse como referencia, ya que la velocidad de un punto genérico $P$ se puede escribir en función de la velocidad angular $\Omega$ y de la velocidad de $O$ , independientemente de la elección de $O$ .

\begin{matrix} (1) & \dot{PAG} = \dot{O} + Ω \land (PAG - O) \end{matrix}

$\dot{P} = \dot{ O} + \Omega∧(P −O)\tag{1}$

Eso significa que el movimiento de $P$ es visto como la composición de la traducción de $O$ , más un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por $O$ : llamemos a este eje $\gamma$ .

¿En qué casos es correcto decir que $\gamma$ es un eje instantáneo de rotación del cuerpo rígido?

Para hacer eso debe el punto $O$ (en el eje $\gamma$ ) tienen velocidad cero (es decir $\dot{O}=0$ )? O puedo definir $\gamma$ como un eje instantáneo de rotación en cualquier caso cuando escribo $(1)$ ?

Juan Alexiou

Relacionado: physics.stackexchange.com/a/199838/392

Respuestas (1)

Eje instantáneo de rotación de un cuerpo rígido.

Juan Alexiou · Answer 1

Un cuerpo puede tener velocidad paralela en el eje instantáneo de rotación. Esta velocidad paralela a veces se designa con un valor de paso escalar $h$ , tal que $\vec{v}_O = h \vec{\omega}$

Considere un punto O en el IAR y un punto P fuera de él. Tienes

{\vec{v}}_{PAG} = {\vec{v}}_{O} + ({\vec{r}}_{PAG} - {\vec{r}}_{O}) \times \vec{ω}

$\vec{v}_P = \vec{v}_O + (\vec{r}_P-\vec{r}_O) \times \vec{\omega}$

Ahora puedo probar que dado el movimiento $\vec{v}_P$ de un punto arbitrario P y la velocidad de rotación $\vec{\omega}$ . El movimiento siempre se puede descomponer en un punto de eje de rotación $\vec{r}_O$ y una velocidad paralela $\vec{v}_O$ .

Lema dado $\vec{v}_P$ y $\vec{\omega}$ existe una ubicación única (relativa) $\vec{r}$ tal que

{\vec{v}}_{O} = {\vec{v}}_{PAG} + \vec{ω} \times \vec{r} = h \vec{ω}

$\vec{v}_O = \vec{v}_P + \vec{\omega}\times \vec{r} = h \vec{\omega}$ entonces la velocidad

{\vec{v}}_{O} = h \vec{ω}

$\vec{v}_O = h \vec{\omega}$ es paralelo a

\vec{ω}

$\vec{\omega}$ solo. Esta ubicación está en el eje instantáneo de rotación más cercano a P tal que

{\vec{r}}_{O} = {\vec{r}}_{P} + \vec{r}

$\vec{r}_O = \vec{r}_P + \vec{r}$ .

Prueba

Llevar $\vec{r}= \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}_P}{\| \vec{\omega}\|^2}$ en la transformación y expandir los términos

{\vec{v}}_{O} = {\vec{v}}_{PAG} + \vec{ω} \times (\frac{\vec{ω} \times {\vec{v}}_{PAG}}{‖ \vec{ω} ‖^{2}})

$\vec{v}_O = \vec{v}_P + \vec{\omega}\times \left( \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}_P}{\| \vec{\omega}\|^2} \right)$

Ahora usa la identidad del triple producto vectorial $a \times (b \times c) = b (a\cdot c) - c (a \cdot b)$

{\vec{v}}_{O} = {\vec{v}}_{PAG} + \frac{\vec{ω} (\vec{ω} \cdot {\vec{v}}_{PAG}) - {\vec{v}}_{PAG} (\vec{ω} \cdot \vec{ω})}{‖ \vec{ω} ‖^{2}} = {\vec{v}}_{PAG} + \frac{\vec{ω} (\vec{ω} \cdot {\vec{v}}_{PAG})}{‖ \vec{ω} ‖^{2}} - {\vec{v}}_{PAG}

$\require{cancel} \vec{v}_O =\vec{v}_P +\frac{\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot \vec{v}_P) - \vec{v}_P (\vec{\omega}\cdot \vec{\omega})}{\| \vec{\omega}\|^2} = \cancel{\vec{v}_P} + \frac{\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot \vec{v}_P)}{\| \vec{\omega}\|^2}-\cancel{\vec{v}_P}$

Ahora defina el tono escalar como

h = \frac{\vec{ω} \cdot {\vec{v}}_{PAG}}{‖ \vec{ω} ‖^{2}}

$h = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{v}_P}{\| \vec{\omega} \|^2}$ y lo anterior se convierte

{\vec{v}}_{O} = h \vec{ω}

$\vec{v}_O = h \vec{\omega}$

Entonces, la velocidad en O es paralela solo a la rotación.

Ejemplo Un cuerpo gira $\vec{\omega} = (0,0,10)$ y un punto P situado en $\vec{r}_P=(0.8,0.2,0)$ tiene velocidad $\vec{v}_P = (2,-3,1)$ . Encuentre el punto IAR O y el valor de paso. $h$ .

{\vec{r}}_{O} = {\vec{r}}_{PAG} + \frac{{\vec{v}}_{PAG} \times \vec{ω}}{‖ \vec{ω} ‖^{2}} = (0.8, 0.2, 0) + \frac{(- 30, 20, 0)}{10^{2}} = (0.5, 0, 0)

$\vec{r}_O = \vec{r}_P + \frac{\vec{v}_P \times \vec{\omega}}{\| \vec{\omega} \|^2} = (0.8,0.2,0) + \frac{(-30,20,0)}{10^2} = (0.5,0,0)$

h = \frac{\vec{ω} \cdot {\vec{v}}_{PAG}}{‖ \vec{ω} ‖^{2}} = \frac{10}{10^{2}} = 0.1

$h = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{v}_P}{\|\vec{\omega}\|^2} = \frac{10}{10^2} = 0.1$

Confirmación

{\vec{v}}_{PAG} = h \vec{ω} + ({\vec{r}}_{PAG} - {\vec{r}}_{O}) \times \vec{ω} = (0, 0, 1) + (0.3, 0.2, 0) \times (0, 0, 10) = (2, 3, - 1) ✓

$\vec{v}_P = h \vec{\omega} + (\vec{r}_P - \vec{r}_O) \times \vec{\omega} = (0,0,1) + (0.3,0.2,0) \times (0,0,10) = (2,3,-1) \; \checkmark$

_{NOTAS: Consulte también la respuesta relacionada a la pregunta ¿ Por qué la velocidad angular de cualquier punto con respecto a cualquier otro punto de un cuerpo rígido es siempre la misma?}

Eje instantáneo de rotación de un cuerpo rígido.

Sørën

Juan Alexiou

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Juan Alexiou

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