Una pregunta sobre el teorema de la raqueta de tenis con valores propios degenerados I1,I2,I3I1,I2,I3I_1, I_2 , I_3

Aplicación repetida de las ecuaciones de Euler

$$\forall i ~\in~\mathbb{Z}_3:~~ \dot{L}_i~\equiv~ I_i \dot{\Omega}_i~=~\Omega_{i+1}(I_{i+1}-I_{i-1}) \Omega_{i-1} \tag{1}$$

lleva a

$$\begin{align}\forall i ~\in~\mathbb{Z}_3:&~~\cr I_1I_2 I_3 \ddot{\Omega}_i~&\stackrel{(1)}{=}~(I_{i+1}-I_{i-1}) \Omega_i\left\{(I_i -I_{i+1}) I_{i+1}\Omega_{i+1}^2- (I_i -I_{i-1}) I_{i-1}\Omega_{i-1}^2\right\} . \end{align}\tag{2}$$

Observación para más tarde:

$$\forall i ~\in~\mathbb{Z}_3:~~\left( I_{i+1}=I_{i-1}\qquad \stackrel{(1)}{\Rightarrow} \qquad \Omega_{i}, L_{i}\text{ are constants}\right).\tag{3}$$

Asumir que

$$I_1~\geq~ I_2~ \geq~ I_3 .\tag{4}$$

Hay varios casos:

• Caso$I_1>I_2>I_3$: Ecuaciones de Euler. (1) tienen solo los tres ejes principales como puntos de equilibrio$\dot{\vec{\Omega}}=0$.

  1. Los ejes principal mayor y menor son estables, cf. un argumento geométrico estándar donde la intersección de una esfera de momento angular y un elipsoide de energía es un pequeño bucle, consulte, por ejemplo, las respuestas de Phys.SE de Emilio Pisanty , Michael Seifert y ZeroTheHero .

  2. El eje intermedio $\vec{\Omega}\approx (0,\Omega_2,0)$es$\color{red}{\text{unstable}}$, cf. un argumento analítico estándar

     $$\ddot{\Omega}_i~\stackrel{(2)}{\approx}~\color{red}{+}\omega^2_2 \Omega_i, \qquad i\in{1,3}, \tag{5}$$ dónde $$\omega_2~:=~\Omega_2\sqrt{\frac{(I_1-I_2)(I_2-I_3)}{I_1I_3}}, \tag{6}$$ véase, por ejemplo, la respuesta de Phys.SE de David Bar Moshe .

• Caso$I_1=I_2>I_3$: Entonces$\Omega_3$y$L_3$son constantes, cf. ec. (3). Entonces

  $$\ddot{\Omega}_i~\stackrel{(2)}{=}~-\omega^2_3 \Omega_i, \qquad i\in{1,2}, \tag{7}$$ dónde $$\omega_3~:=~\Omega_3\sqrt{\frac{(I_1-I_3)(I_2-I_3)}{I_1I_2}}~=~{\rm const}. \tag{8}$$ Conclusión: Hay una (lenta) precesión de$\vec{\Omega}$y$\vec{L}$alrededor del tercer eje con frecuencia angular$\omega_3$. En otras palabras: Si$\vec{\Omega}$está cerca del tercer eje, permanecerá cerca; mientras que si$\vec{\Omega}$está cerca del plano principal, no se quedará quieto, sino que precederá en el plano principal.

• Caso$I_1>I_2=I_3$: Entonces$\Omega_1$y$L_1$son constantes, cf. ec. (3). Entonces

  $$\ddot{\Omega}_i~\stackrel{(2)}{=}~-\omega^2_1 \Omega_i, \qquad i\in{2,3}, \tag{9}$$ dónde $$\omega_1~:=~\Omega_1\sqrt{\frac{(I_1-I_2)(I_1-I_3)}{I_2I_3}}~=~{\rm const}. \tag{10}$$ Conclusión: Hay una (lenta) precesión de$\vec{\Omega}$y$\vec{L}$alrededor del primer eje con frecuencia angular$\omega_1$. En otras palabras: Si$\vec{\Omega}$está cerca del primer eje, permanecerá cerca; mientras que si$\vec{\Omega}$está cerca del plano principal, no se quedará quieto, sino que precederá en el plano principal.

• Caso$I_1=I_2=I_3$:$\vec{\Omega}$y$\vec{L}$son constantes, cf. ec. (3).

Curiosamente, los casos degenerados se pueden resolver exactamente con fórmulas cerradas.

[Arriba hemos asumido implícitamente que$\omega_i$en ecs. (6), (8) y (10) nunca son cero exacto, sino estrictamente positivos. En la práctica, esto es cierto.]