Relación entre la derivada del vector de rotación y la velocidad angular cuando el ángulo de rotación es constante

Question

Relación entre la derivada del vector de rotación y la velocidad angular cuando el ángulo de rotación es constante

Física
rotación
velocidad angular
dinámica de cuerpo rígido
dinámica-rotacional
cinemática-rotacional

Harald

$\def\va{\vec{\alpha}} \def\vw{\vec{\omega}} \def\vn{\vec{n}}$ Dejar $\va(t)$ sea un vector de rotación tal que su dirección sea el eje de rotación y su longitud $\alpha=|\va|$ es el ángulo que describe la rotación. En ¿ Existe una fórmula para el vector de rotación en términos del vector de velocidad angular? la formula

\vec{ω} = \dot{\vec{α}} + \frac{1 - porque α}{α^{2}} (\vec{α} \times \dot{\vec{α}}) + \frac{α - pecado α}{α^{3}} (\vec{α} \times (\vec{α} \times \dot{\vec{α}}))

$\vec{\omega}= \dot{\vec{\alpha}} + \frac{1 - \cos \alpha}{\alpha^2} \left(\vec{\alpha} \times \dot{\vec{\alpha}}\right) + \frac{\alpha - \sin \alpha}{\alpha^3} \left(\vec{\alpha} \times \left(\vec{\alpha} \times \dot{\vec{\alpha}}\right)\right)\,$ se da que relaciona la velocidad angular

\vec{ω}

$\vw$ al vector de rotación

\vec{α}

$\va$ y su derivada temporal.

Si multiplico la fórmula por $\va$ , los dos términos elaborados a la derecha desaparecen, porque ambos contienen un producto cruzado de $\va$ tal que su producto escalar con $\va$ es cero Yo obtengo:

\begin{matrix} (1) & \vec{ω} \cdot \vec{α} = \dot{\vec{α}} \cdot \vec{α} \end{matrix}

$\vw\cdot\va = \dot\va\cdot\va \tag{1}$

Porque $\vw$ y $\va$ son paralelos, también tenemos

\begin{matrix} (1) & ω α = \dot{\vec{α}} \cdot \vec{α} \end{matrix}

$\omega \alpha = \dot\va\cdot\va \tag{1}$

Ahora deja $\va(t) = \alpha(t)\cdot \vn(t)$ para vector unitario $\vn(t)$ . Entonces obtenemos

\dot{\vec{α}} (t) = \dot{α} (t) \cdot \vec{norte} (t) + α (t) \cdot \dot{\vec{norte}} (t) .

$\dot\va(t) = \dot\alpha(t) \cdot\vn(t) + \alpha(t)\cdot\dot\vn(t)\,.$

En el caso $\alpha(t)=const$ , y dejando fuera el $(t)$ para una mejor legibilidad, esto se simplifica a $\dot\va = \alpha\cdot\dot\vn$ e insertar en (1) da como resultado

\begin{aligned} ω α = \vec{ω} \cdot \vec{α} & = α \vec{α} \cdot \dot{\vec{norte}} \\ = α^{2} \vec{norte} \cdot \dot{\vec{norte}} \end{aligned}

$\begin{align} \omega\alpha = \vw\cdot\va &= \alpha \va \cdot\dot\vn\\ &= \alpha^2 \vn\cdot\dot\vn \end{align}$ dividiendo por

α

$\alpha$ obtenemos

ω = α \vec{norte} \cdot \dot{\vec{norte}} .

$\omega = \alpha\vn\cdot\dot\vn\,.$

Desde $\vn(t)$ es un vector unitario para cada $t$ , cualquier cambio de $\vn(t)$ siempre debe cambiar solamente su dirección, nunca su longitud, lo que significa que $\vn\cdot\dot\vn=0$ y por lo tanto

ω = 0

$\omega = 0$

en el caso $\dot\alpha=0$ , incluso para $\dot\vn\neq0$ .

Pregunta: ¿Cómo puede ser que el eje de rotación cambie de dirección pero $\omega$ y por lo tanto el momento angular es cero? Una de mis suposiciones de cómo $\va$ probablemente esté mal. Sin embargo, todo lo que he asumido es que $\va$ son solo tres números que cambian con el tiempo y que se pueden descomponer en $\alpha\vn$ . OK y que esto está en línea con la fórmula citada para $\omega$ . ¿Dónde está el error? ¿O puedo tener un cambio en el eje de rotación sin tener un momento angular?

Respuestas (1)

Relación entre la derivada del vector de rotación y la velocidad angular cuando el ángulo de rotación es constante

usuario197851 · Answer 1

Al principio haces la suposición de que $\vec{\omega}$ y $\vec{\alpha}$ son paralelos. Esto no es cierto en general.

Esto puede haber surgido de un concepto erróneo básico sobre el significado de $\vec{\alpha}(t)$ . La dirección de $\vec{\alpha}(t)$ no es el eje instantáneo de rotación. Las variables eje-ángulo te dan la rotación necesaria para obtener la orientación actual de un cuerpo (por ejemplo, en el momento $t$ ) en relación con una orientación de referencia (por ejemplo, en $t=0$ ). Es cierto que cualquier orientación se puede expresar de esta manera: una rotación $\alpha(t)$ sobre un vector unitario $\vec{n}(t)$ , que podemos juntar como un vector combinado $\vec{\alpha}(t)\equiv \alpha(t)\vec{n}(t)$ . Pero esta rotación depende de toda la historia de la trayectoria hasta el momento $t$ , y como quedó claro en la página a la que hizo referencia, ¿existe una fórmula para el vector de rotación en términos del vector de velocidad angular? , la relación es bastante complicada. No hay ninguna razón particular por la cual el eje $\vec{n}(t)$ describir la orientación actual debe tener alguna relación con la dirección de la velocidad angular actual $\vec{\omega}(t)$ .

Uno puede concebir un caso especial donde esto es cierto: es el caso simple donde $\vec{n}$ ha sido constante a lo largo de la trayectoria, y tanto $\vec{\omega}$ y $\vec{\alpha}$ han sido paralelos a $\vec{n}$ por todo el tiempo. Entonces

\vec{ω} (t) = ω (t) \vec{norte} y \vec{α} (t) = α (t) \vec{norte}

$\vec{\omega}(t)=\omega(t)\vec{n} \qquad\text{and}\qquad \vec{\alpha}(t)=\alpha(t)\vec{n}$ Entonces el ángulo de rotación

α (t)

$\alpha(t)$ es solo la integral de tiempo de la magnitud de la velocidad angular

ω (t)

$\omega(t)$ . En este caso, sin embargo, las cosas son menos interesantes. El segundo y tercer término de tu primera ecuación se desvanecen de manera idéntica, entonces

\vec{ω} = \dot{\vec{α}} y ω = \dot{α}

$\vec{\omega}=\dot{\vec{\alpha}}\qquad\text{and}\qquad \omega=\dot{\alpha}$ Su derivación es correcta hasta que lleguemos al caso especial.

α (t) =

$\alpha(t)=$ constante, lo que por supuesto implica correctamente

ω (t) = 0

$\omega(t)=0$ . Pero eso es lo que cabría esperar, para este caso especial, no ilustra nada malo.

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Harald

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usuario197851

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