Rotación de la mecánica clásica de Goldstein

Me disculpo por la ambigüedad en mi título. Fue bastante difícil averiguar cuál es el título más apropiado para mis preguntas.

Mis preguntas provienen del capítulo 4 y el capítulo 5 de Goldstein, ambos sobre rotaciones.

En primer lugar, con respecto al párrafo que sigue a la ecuación (4.84), que establece d GRAMO i = a j i d GRAMO j ′ + d a j i GRAMO j ′ donde las coordenadas principales son la coordenada del cuerpo y las sin prima representan la coordenada del espacio. a representa la matriz de transformación del espacio al cuerpo.

El párrafo establece

No es una pérdida de generalidad tomar los ejes del espacio y del cuerpo como instantáneamente coincidentes en el tiempo t. Entonces, los componentes de los dos sistemas serán los mismos instantáneamente, pero los diferenciales no serán los mismos, ya que los dos sistemas giran entre sí. De este modo, GRAMO j ′ = GRAMO j pero a j i d GRAMO j ′ = d GRAMO i ′ .

Entiendo su razonamiento, excepto la conclusión. Estoy de acuerdo en que los diferenciales son diferentes con respecto a los dos sistemas de coordenadas, pero ¿por qué eso implica a j i d GRAMO j ′ = d GRAMO i ′ ?

La segunda pregunta que tengo proviene del capítulo 5, donde se afirma (en la sección 1),

Cualquier diferencia en los vectores de velocidad angular en dos puntos arbitrarios debe estar a lo largo de la línea que une los dos puntos.

¿Por qué es eso cierto?

Respuestas (1)

Respuesta a la primera pregunta:

En el instante considerado, los ejes del espacio y del cuerpo son idénticos, por lo que en ese momento la matriz a que relaciona los dos conjuntos de ejes es simplemente la matriz identidad. d GRAMO ′ es un vector, entonces a j i d GRAMO j ′ = d GRAMO i ′ es simplemente equivalente a la afirmación de que con I la matriz identidad y V un vector arbitrario, I V = V .

Respuesta a la segunda pregunta:

Inmediatamente antes de la afirmación en cuestión, el libro acaba de deducir que ( ω 1 − ω 2 ) × R = 0 . Usando una posible definición para el producto cruz , esa ecuación es equivalente a ‖ ( ω 1 − ω 2 ) ‖ ‖ R ‖ pecado ⁡ θ   norte = 0 , dónde norte es un vector unitario perpendicular al plano que contiene ( ω 1 − ω 2 ) y R , y θ es el ángulo entre ( ω 1 − ω 2 ) y R . norte no es el vector nulo, y R se supone que no es el vector nulo, por lo que si ( ω 1 − ω 2 ) tampoco es el vector nulo, la única otra forma posible de que esa ecuación se cumpla es si pecado ⁡ θ = 0 , es decir θ = 0 . Es decir , ( ω 1 − ω 2 ) debe ser paralelo a R , que es lo que el libro quiere decir con la oración en cuestión.

No tengo idea de por qué esta respuesta recibió un voto negativo. Lo único que se me ocurre es que tal vez la respuesta parece totalmente incorrecta porque a j i d GRAMO j ′ no se parece en nada a multiplicar una matriz por un vector. Entonces, por el bien de las personas que no siguen a Goldstein, señalaré que Goldstein usa la convención de suma de Einstein, que hace que la expresión anterior sea equivalente a multiplicar una matriz por un vector.
No sé el motivo del voto negativo. He leído la respuesta y creo que es útil. Posteriormente, revisé las partes relevantes del libro de Goldstein y puedo reconocer que la respuesta es apropiada. Así que compensé el voto negativo.
¡Gracias Red Act, su respuesta fue muy útil! Yo no fui el que te dio un voto negativo. Quiero darte un voto positivo, pero aparentemente necesito más reputación. ¡SInceramente Gracias!
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