¿Cuál es la prueba de que una fuerza aplicada sobre un cuerpo rígido hará que gire alrededor de su centro de masa?

Una razón muy simple sería que si el cuerpo girara alrededor de algún punto que no sea el centro de masa, el centro de masa en el marco del suelo estaría en movimiento circular.

Ahora sabemos que el movimiento del centro de masa está gobernado ÚNICAMENTE por FUERZAS EXTERNAS , y en el caso de que se aplique una fuerza durante un tiempo breve, no hay ninguna fuerza externa que actúe sobre el centro de masa posteriormente.

Entonces podemos decir que el movimiento posterior del centro de masa será lineal (y no circular, como sería si el cuerpo girara sobre algún otro punto). Y como el cuerpo tiene algo de momento angular, ¡rotará alrededor del centro de masa!

De lo que estás hablando se llama el centro instantáneo de percusión . Para girar puramente un cuerpo rígido alrededor de un eje (el eje de rotación), se necesita aplicar una fuerza a lo largo del eje de percusión que es a) perpendicular al eje de rotación, b) en el lado opuesto del centro de gravedad del pivote y c) ubicado a una distancia$\ell =c + \frac{I}{m c}$del pivote ($m$masa,$I$momento de inercia de la masa alrededor de cm y$c$distancia entre pivote y cm ).

Derivación

Considere un cuerpo con la rotación deseada$\vec{\omega} = (0,0, \omega_z)$sobre un punto A alineado con un local$\hat k$eje, y el centro de gravedad ubicado a lo largo del local$\hat i$eje, con coordenadas$\vec{c} = (c_x,0,0)$.

Un impulso con componentes$\vec{J}=(J_x,J_y,J_z)$se aplica en un lugar$\vec\ell = (l_x,l_y,l_z)$relativo a A con las ecuaciones de movimiento en el centro de masa

en componentes lo anterior es

Asi que$J_x=J_z=0$haciendo$\vec{J}$estar a lo largo del local$\hat{j}$eje.

con solucion$\ell_z =0$y$\boxed{\ell_x = c_x + \frac{I_z}{m c_x}}$. Nótese que el valor de$\ell_y$es irrelevante ya que a lo largo del eje de fuerza$\vec{J}$.

Aquí hay algunas publicaciones de referencia:

Consulte la respuesta relevante a una pregunta similar ( https://physics.stackexchange.com/a/81078/392 )

Las ecuaciones completas de movimiento sobre un punto arbitrario se derivan en ( https://physics.stackexchange.com/a/80449/392 )

He leído que si durante un breve intervalo de tiempo aplico una fuerza sobre el cuerpo en algún punto que no esté alineado con el centro de masa, comenzará a girar alrededor de un eje que es perpendicular a la fuerza y ​​que pasa por el centro de masa.

A mi entender, su pregunta es errónea. Si se aplica una sola fuerza a un cuerpo rígido sin la influencia de otras fuerzas, ya sea:

1. La línea de acción de la fuerza pasa por el centro de masa, provocando una traslación pura y sin rotación.
2. La línea de acción de la fuerza no pasa por el centro de masa, en cuyo caso terminas con una rotación pura alrededor de un eje que no pasa por el centro de masa . En otras palabras, el eje instantáneo de velocidad cero inducido por una sola fuerza nunca puede ser el centro de masa.

Si aplica una fuerza excéntrica, el centro de masa del cuerpo sufrirá una aceleración lineal y el cuerpo mismo sufrirá una aceleración angular. En un marco de referencia fijo, esto puede verse como una rotación pura alrededor de cierto punto, pero este punto nunca será el centro de masa del cuerpo.

¿Cuál es la prueba de esto?

La demostración del Teorema de Chasles relacionado con los desplazamientos de rotación y traslación de un cuerpo rígido se realiza en muchos textos, incluido el Apéndice 20A de este documento producido por el MIT .

En esencia, esto muestra que, si una fuerza cuya línea de acción no pasa por el centro de masa de un cuerpo rígido, la fuerza aplicada es equivalente a la misma fuerza de magnitud y dirección que pasa por el centro de masa del cuerpo que produce sólo aceleración de traslación del centro de masa del cuerpo y un par que produce sólo aceleración de rotación del cuerpo.

El movimiento real del cuerpo está dictado por la suma de estas dos aceleraciones.

Supongamos una fuerza$\vec F$se aplica a un cuerpo cuya línea de acción no pasa por el centro de masa$C$del cuerpo.

sumando dos fuerzas$\vec F_1$y$\vec F_2$en el centro de masa del cuerpo tal que$\vec F = \vec F_2$y$\vec F_1 + \vec F_2 =0$como se muestra en el siguiente diagrama.

Ahora hay una fuerza$\vec F_2 (= \vec F)$actuando a lo largo de una línea que pasa por el centro de masa del cuerpo,$C$, que solo producirá una aceleración de traslación del cuerpo y un par formado por las dos fuerzas$\vec F$y$\vec F_1$y de magnitud$Fd$que sólo producirá una aceleración rotacional del cuerpo.

Creo que el punto es que en el espacio libre el momento lineal y angular son cantidades conservadas por separado . (Esto está implícito siempre que su espacio tenga simetría de traslación y rotación). Si el momento lineal total del cuerpo rígido es siempre constante después del empuje, entonces el centro de masa debe moverse en línea recta, a velocidad constante. De esto se deduce que la rotación debe ser alrededor del centro de masa.

Puede encontrar el cambio en el momento angular de un cuerpo rígido simplemente evaluándolo:$\frac{d\mathbf{L}_{total}}{dt} = \sum_p m_p\left(\mathbf{R}+\mathbf{r}_p\right) \times \frac{d}{dt}\left(\mathbf{V}+\mathbf{v}_p\right)\,$

$\frac{d\mathbf{L}_{total}}{dt}= M \mathbf{R} \times \frac{d\mathbf{V}}{dt} + \sum_p m_p \mathbf{r}_p\times \frac{d\mathbf{v}_p}{dt}$Aquí he roto la posición de la$p^{th}$componente en una parte de centro de masa y una parte relativa.

Tenga en cuenta que$m_p \frac{d\mathbf{v}_p}{dt}$es precisamente la fuerza que actúa sobre una parte del cuerpo. Puede demostrar que las fuerzas internas (fuerzas entre partículas) no contribuyen al par (básicamente debido a que son iguales y opuestas, por lo que se cancelan cuando suma), por lo que solo las fuerzas externas son importantes.

Sólo la componente de esa fuerza que es perpendicular a$\vec{r}_p$sobrevive al producto cruz y hace que el cuerpo gire. En otras palabras, la afirmación "comenzaría a girar sobre un eje que es perpendicular a la fuerza y ​​que pasa por el centro de masa" es una propiedad del producto vectorial en esa ecuación. ¿Por qué sobre el centro de masa? Bueno, puede evaluar el momento angular sobre cualquier línea (más precisamente, en cualquier plano), y se factoriza claramente en una parte que es el movimiento del COM sobre ese eje, y una parte que es el movimiento del cuerpo sobre el COM. Si elige el eje para pasar por el COM, la primera parte desaparece por el producto vectorial. De todos modos, el cálculo anterior factoriza de la misma manera, como puede ver.

Puede consultar el meollo de la cuestión aquí que escribí hace mucho tiempo. Esperemos que no sea demasiado confuso.

Salud

Suponga una partícula muy pequeña incrustada en el cuerpo rígido de masa$m$. Averigüemos su Torque o momento de fuerza$\vec{\tau}$sobre un punto arbitrario$p$.

$\vec{\tau} = \vec{f} \times \vec{r}$

dónde$\vec{r}$es un desplazamiento de esta partícula desde el punto$p$.

El Torque total sobre el cuerpo rígido será parte de$\tau$de todas las partículas. Si esto$\tau$tiene un valor distinto de cero, entonces el cuerpo estará girando.

Averigüemos el par total,$\Gamma$

$\Gamma = \Sigma{\tau}$

$\Rightarrow \Gamma = \Sigma{ \vec{f} \times \vec{r}}$

$\Rightarrow \Gamma = \Sigma{ m \, \vec{a} \times \vec{r}}$

Como se dice que el cuerpo es rígido, todos los puntos de este cuerpo tendrán las mismas aceleraciones en todos los casos. Además, el producto cruzado es una referencia distributiva , por lo tanto, podemos tomar$\vec{a}$fuera de la suma.

$\Rightarrow \Gamma = \vec{a} \times \Sigma{ m \, \vec{r}}$

ahora si punto$p$es el centro de masa entonces,$\Sigma{ m \, \vec{r}}$es cero árbitro

Por lo tanto,$\Gamma$es cero y el cuerpo rígido no rotará en absoluto.

NOTA:$\times$es el operador de producto vectorial vectorial.

Uno puede hacer suposiciones razonables para investigar el problema de una manera simple. Aquí está mi razonamiento sobre esta pregunta.

En aras de la simplicidad, supongamos que tenemos un objeto esférico de radio R en el espacio exterior. Deje que haya un gancho en la superficie de la esfera desde el cual podemos unir una cuerda. Imagine que estamos equipados con un sistema de cohetes que puede darnos impulso para movernos.

Ahora, sujetamos un extremo de la cuerda y nos alejamos de la esfera en una dirección en la que la cuerda, cuando se tensa, no es paralela al radio de la esfera. La fuerza que ejercemos sobre la esfera en esa dirección se puede analizar en la tangente y la perpendicular a la superficie de la esfera. Si$\theta$es el ángulo entre la cuerda y la normal a la esfera tenemos:

Componente tangente:$F_T=F\sin(\theta)$

Componente normal:$F_N=F\cos(\theta)$.

La componente normal es paralela al radio de la esfera y pasa por el centro (CM) y no tiene momento. Este componente tirará de la esfera en la dirección normal.

La componente tangente tiene un momento con respecto al centro.

$M=FR\sin(\theta)$.

Este componente rotaría la esfera, si el eje de la esfera girara, ¡pero no lo hace! Sin embargo, creo que, debido a la inercia de la masa de la esfera, sería suficiente para que la fuerza tangente girara la esfera. La ley de conservación de la energía debe escribirse, para un breve intervalo de tiempo de aplicación de la fuerza, en la forma

${\bf {F.x}} = {\frac {1}{2}}mv^2+ {\frac {1}{2}}I{\omega}^2$

dónde:$\bf x$es el desplazamiento de la esfera, mientras que el primer término de la RHS es la energía cinética debida al movimiento lineal y el segundo es la energía cinética debida al movimiento de rotación. Tenga en cuenta que, como la esfera no tiene un eje fijo, girará alrededor del eje que es perpendicular al gran círculo que pasa por la punta del gancho, y el$F_T$es tangente a ella. Por lo tanto, el eje será perpendicular a$F_T$y$F_N$y por lo tanto es perpendicular a la fuerza$\bf F$. Este será el caso para cualquier dirección de$\bf F$.

¿Por qué el eje de rotación debe pasar por el CM? El punto aquí es que el objeto gira libremente. No está obligado a girar sobre un eje arbitrario. Sin entrar en matemáticas, un argumento rápido desde el punto de vista de la física es que, si el eje pasara por otro punto, el movimiento de rotación sería inestable. Me refiero a que para un objeto que gira libremente, existe un estado mínimo de energía, y es cuando el eje de giro pasa por el CM. Si pasara por algún otro punto, entonces de acuerdo con el teorema de los ejes paralelos, la inercia del objeto sería mayor, por lo tanto, mayor energía del sistema. Es como acercar un objeto a cierta altura a la superficie de la tierra y luego lo liberas. Caerá al estado de energía más bajo, y eso es cuando está en el suelo.