Lie ¿Grupos y extensiones de grupo?

Dado que he recopilado una idea más de "dónde se encuentra" en su aprendizaje y he mostrado un entusiasmo considerable por obtener una comprensión completa de los fundamentos, me gustaría agregar algunos detalles más (de un físico que no es de partículas, eso sí, por lo que hay hay muchos aspectos de su pregunta que debo evitar) a la excelente respuesta de Lubos. Además, en tu pregunta hablaste de campos de extensión y analogías con grupos de Lie y esto me sugiere que estás pensando en analogías entre la teoría de Lie y la teoría de Galois, así que tocaré esa idea también: de hecho, hay semejanzas y fue precisamente El deseo de Lie de una teoría de "Galois" de grupos continuos que lo llevan a fundar la teoría de Lie.

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Lo que el grupo de mentiras recuerda sobre el grupo: el teorema de Baker Campbell Hausdorff

Finalicemos la excelente declaración intuitiva de Lubos "sin embargo, la curvatura de la esfera (grupo de Lie) es recordada completamente por la operación del conmutador en el álgebra de Lie". Otra variación de esta declaración memorable es que el "álgebra de Lie codifica casi toda la información sobre el grupo de Lie". Si recuerdas esto, no te equivocarás demasiado. No estoy de acuerdo con el "totalmente recordado" de Lubos, pero esto está muy cerca de fallar, así que aquí hay algunas piezas finales del rompecabezas; puedes ver que se necesita algo más ya que dos grupos de Lie diferentes pueden tener exactamente el mismo álgebra de Lie, por ejemplo el par$SU(2)$y$SO(3)$así como (un ejemplo diferente) la pareja$U(1)$, que es compacto, y el no compacto$(\mathbb{R},\,+)$(este último isomorfo a$(\mathbb{R}^+\sim\{0\},\,\times)$).

La declaración de Lubos (Lubos, corrígeme si esta no es una buena representación de tus palabras) está codificada en el Teorema de Baker Campbell Hausdorff . Los mapas exponenciales vecindades del origen en el espacio vectorial del álgebra de Lie (llámese$\mathfrak{g}$) uno a uno sobre barrios de la identidad en el grupo de Lie$\mathfrak{G}$: el logaritmo localmente bien definido hace lo contrario. Entonces se puede demostrar que hay un vecindario$\mathbf{N}\subset\mathfrak{g}$(tiene que ser "lo suficientemente pequeño" como lo define una métrica adecuada en$\mathfrak{g}$) tal que para$X,\,Y\in\mathbf{N}\subset\mathfrak{g}$(y entonces$e^A,\,e^B\in \mathfrak{G}$) hay un$Z\in\mathfrak{g}$tal que$e^X\,e^Y = e^Z\in \mathfrak{G}$y:

$Z = X + Y + \frac{1}{2} [X,\,Y] + \frac{1}{12}[X,\,[X,\,Y]] - \frac{1}{12}[X,\,[Y,\,X]] + ...$

donde TODOS los términos involucran solo el corchete de mentira (conmutador). Los coeficientes exactos en esta fórmula son extremadamente complicados de escribir (hay una fórmula temible debido a Dynkin, ver [Rossmann] en el capítulo 1 (doy referencias al final)), pero sus valores exactos no son importantes para esto. discusión. Lo importante es que la fórmula BCH solo involucra paréntesis de Lie, sumas y multiplicaciones escalares, por lo que las sumas parciales no producen nada fuera del álgebra de Lie; además, es convergente en una vecindad adecuadamente pequeña del vector cero, por lo que debe converger a un miembro del álgebra de Lie (las álgebras de Lie, que también son espacios vectoriales como saben, son cerradas, por lo que el límite está en el álgebra de Lie). Entonces, la fórmula BCH "hace retroceder la multiplicación de grupos a través de la función exponencial"

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Lo que el corchete de mentiras no "recuerda" sobre el grupo: topología global y el grupo fundamental

Pero todavía hay un ligero "margen de maniobra" (ambigüedad: hay más de una forma de definir consistentemente el exponencial) en la definición del no lineal$\exp$mapear el álgebra para agrupar - de manera equivalente - ambigüedad en la definición de la multiplicación de grupos. Para entender esto, observe las dos fórmulas diferentes de Rodrigues mapeando la misma álgebra de Lie$su(2) \cong so(3)$a los topológicamente diferentes$SU(2)$y$SO(3)$:

$$\begin{array}{rll} su(2)\mapsto SU(2):& H_{2\times 2}\mapsto\exp\left(H_{2\times 2}\right)=\cos\left(||H_{2\times 2}||\right)\;I_{2\times 2} +\frac{\sin\left(||H_{2\times 2}||\right)}{||H_{2\times 2}||}\, H_{2\times 2}\\ so(3)\mapsto SO(3):& H_{3\times 3}\mapsto\exp\left(H_{3\times 3}\right)=I_{3\times3}+\frac{\sin\left(||H_{3\times 3}||\right)}{||H_{3\times 3}||}\,H_{3\times 3} +\frac{1-\cos\left(||H_{3\times 3}||\right)}{||H_{3\times 3}||^2}\,H_{3\times 3}^2\\ \end{array}$$

dónde:

$$H_{2\times2} = \left(\begin{array}{cc}i\,z&i\,x+y\\i\,x- y&-i\,z\end{array}\right)\quad\quad H_{3\times3} = \left(\begin{array}{ccc}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{array}\right)$$

y$||H_{2\times2}||=||H_{3\times3}||=\sqrt{x^2+y^2+y^2}$. (En$SO(3)$la fórmula BCH tiene una expresión de "forma cerrada", ver [Engø], y una expresión de forma cerrada similar para$SU(2)$sigue por los mismos "trucos"). En cada caso se utiliza la misma serie de Taylor exponencial, simplemente que la no linealidad se manifiesta de manera diferente en cada caso debido a que el teorema de Cayley-Hamilton trabaja sobre diferentes ecuaciones características cumplidas por$H_{2\times2}$y$H_{3\times3}$.

El ingrediente final en todo esto, como lo descubrió Otto Schreier en 1925, es la topología global del grupo de Lie (ver [Stillwell] capítulo 8) y esta información está codificada en un grupo:

• Grupo fundamental , que es el grupo discreto de todas las clases de homotopía definido por bucles que pasan por la identidad del grupo. Estrictamente hablando, uno debe especificar diferentes grupos fundamentales en cada punto dentro del grupo, pero en un grupo de Lie conexo (o cualquier otra variedad conexa) todos son isomorfos. Así que tenemos el resultado que completa la declaración memorable de Lubos en el caso relacionado:

Un grupo de Lie conectado está totalmente especificado por el álgebra de Lie (la "memoria" de los conmutadores) junto con "el" grupo fundamental

• Además de lo anterior, se necesita un grupo discreto de clases laterales desconectadas que no se intersecten para especificar completamente un grupo de Lie con distintos componentes conectados no triviales: por ejemplo, el componente conectado de identidad$SO^+(1,3)$del grupo de Lorentz (las transformaciones "propias, otócronas" que mantienen la orientación del espacio y la dirección del tiempo) es un subgrupo normal de todo el grupo de Lorentz$O(1,3)$y el grupo discreto de clases laterales$O(1,3)/SO^+(1,3)$es el grupo de cuatro de Klein$V_4$(que comprende$I, P, T$y$P\cdot T$dónde$P$es la matriz de inversión espacial$\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$y$T$la matriz de inversión de tiempo$\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$).

Para ilustrar esta topología global para nuestro$SO(3)$,$SU(2)$ejemplo:$SO(3)$no está simplemente conectado como espero que puedas entender mirando mi dibujo aproximado a continuación:

Aquí tienes que imaginar todos los operadores de rotación en$SO(3)$como puntos en un espacio euclidiano compactado: esto podría considerarse como una versión compactada del álgebra de Lie, pero no se deje atrapar por su relación con el álgebra: el dibujo es de una esfera de radio$\pi$pero es una esfera especial, donde se "identifican" pares de puntos antípodas en su superficie, se piensa que son el mismo punto. Para dibujar una rotación de ángulo$\theta$sobre un eje definido por el vector unitario$(\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)$, primero restringimos los ángulos para que estén en el intervalo$(-\pi, \pi]$entonces obtenemos$\theta\mapsto\theta^\prime = \theta + 2\,k\,\pi\in(-\pi, \pi]$cortando trozos sin importancia de números enteros$k$múltiplos de$2\pi$, luego dibujamos un vector de longitud$\theta^\prime$con su cola en el origen (la identidad del grupo) y en la dirección de$(\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)$: el punto en la cabeza del vector representa de forma única cualquier elemento en$SO(3)$. Ahora pensemos en el grupo fundamental de$SO(3)$; existe la clase de homotopía de caminos como$\Gamma$que se puede encoger continuamente hasta un punto y aquellos como$\Omega$que no puede. Imagina montar en el$C^1$camino$\Omega$a través del grupo de Lie: cuando llegamos al punto$P$y vamos un poco más allá, nos encontramos en el "lado opuesto" de la esfera, justo más allá del punto$P^\prime$diametralmente opuesto a$P$. Seguimos por este camino$\Omega$hasta que regresamos a la identidad. Debe quedar claro que un bucle como$\Omega$no puede reducirse continuamente a un punto en la identidad: debido a que el camino emerge de un punto antípoda (en realidad, el mismo punto en nuestra definición) tan pronto como cruza la superficie de la esfera, necesitamos "retirar el camino hacia atrás aunque$P$" por lo que podemos volver al origen, pero no podemos hacer esto ya que el camino se une más allá$P^\prime$a la identidad, por lo que la clase de homotopía de$\Omega$es un elemento del grupo fundamental$\pi_1(SO(3))$de$SO(3)$distinta de la identidad y así$\pi_1(SO(3))$no es trivial. Sin embargo, debería ser bastante obvio ver una homotopía entre$\Omega$y su bucle inverso ( es decir , $\Omega$correr en el sentido opuesto): simplemente gire este camino a través de$180^o$en mi dibujo anterior sobre el origen ( es decir , la identidad$I$). Así que este lazo no es como enrollar un lazo a través de un toro: podemos deformarnos continuamente$\Omega$en su inversa, mientras que no hay forma de hacer que las flechas apunten en la otra dirección en un bucle con flechas dibujadas en él enhebradas a través de un toro sin romper primero el bucle. Así que nuestra presentación grupal fundamental es$\pi_1(SO(3))=\left<\Omega\,|\, \Omega^2=1\right>\cong\mathbb{Z}_2$.

Podemos formar la cobertura universal (ver la página Wiki sobre Grupos de Cobertura) de$SO(3)$para encontrar un grupo simplemente conectado (hay una construcción estándar detallada en la página Wiki para hacer esto) y en este caso obtenemos el grupo simplemente conectado$SU(2)$como el grupo de cobertura universal. Si$\mathfrak{G}$es un grupo de Lie conectado con cobertura universal$\tilde{\mathfrak{G}}$, entonces el grupo fundamental$\pi_1(\mathfrak{G})$viene dado por el grupo cociente$\pi_1(\mathfrak{G})\cong \tilde{\mathfrak{G}}/\mathfrak{G}$: en este caso el grupo cociente es$\mathbb{Z}_2$, que comprende la clase de homotopía de bucles como$\Gamma$en el dibujo de arriba (la identidad de$\pi_1(SO(3))$) y la clase de bucles como$\Omega$. Otra forma de visualizar esto es a través del muy ingenioso "truco del cinturón del topólogo" (a veces llamado el truco del cinturón de Dirac) , pero estoy insistiendo un poco, así que será mejor que lo busques. Es muy divertido demostrarlo a los niños más pequeños. sobre la edad de siete años o más, como he descubierto, evoca un fuerte sentido de asombro en ellos. Ambos$\omega\in SU(2)$y$-\omega\in SU(2)$formar una clase lateral en$SU(2)$que se asigna al mismo elemento de$SO(3)$por el homomorfismo estándar que recupera matrices de rotación de$SU(2)$elementos. El grupo fundamental para un grupo de Lie (de hecho, cualquier grupo topológico) es siempre abeliano, por lo que un grupo de Lie es un tipo de variedad muy especial y restringida (las variedades en general pueden tener cualquier grupo libre generado finitamente como sus grupos fundamentales). La cubierta universal tiene un centro discreto$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$(=supbroup de elementos que conmutan con todos los elementos de$\tilde{\mathfrak{G}}$) y el conjunto de todos los distintos grupos de Lie posibles con la misma álgebra de Lie$\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(\mathfrak{G}) = \operatorname{Lie}(\tilde{\mathfrak{G}})$está en uno a uno, en correspondencia con los subgrupos del centro$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$del grupo de cobertura universal: contamos el grupo trivial y el conjunto de$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$aquí y la representación adjunta ( ver la página Wiki con este nombre ) de$\mathfrak{G}$corresponde al subgrupo trivial de$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$y es lo más alejado posible de estar simplemente conectado, y el grupo de cubierta universal corresponde a la totalidad de$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$. Estas posibilidades agotan todos los grupos de Lie posibles con la misma álgebra de Lie.$SO(3)$es la representación adjunta por la cual$SU(2)$actúa sobre su álgebra de Lie$su(2)$y$SO(3)$es su propia representación adjunta. La representación adjunta aniquila el centro del grupo, que es el núcleo de la representación. Esta es la razón por la que la fórmula BCH no codifica toda la información sobre el grupo: mientras que puede "ver" una parte continua del centro$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$a través de la suma euclidiana$X + Y$en la fórmula BCH, los términos de orden superior no pueden ver el centro discreto.

Ahora debería poder pensar en otro ejemplo de$\mathfrak{G}=U(1)$y$\tilde{\mathfrak{G}}=(\mathbb{R},\,+)$en estos términos: ambos tienen la misma álgebra de Lie$\mathfrak{g}=(\mathbb{R},\,+)$y$\tilde{\mathfrak{G}}=(\mathbb{R},\,+)$es el grupo de cobertura universal de$\mathfrak{G}=U(1)$. El grupo fundamental, por supuesto, es$\mathbb{Z} = \cdots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\cdots$, donde el entero$n$corresponde a un bucle alrededor del círculo$U(1) = \{e^{i\,\theta}:\;\theta\in\mathbb{R}\}$comprendiendo$n$gira en sentido contrario a las agujas del reloj.

Para ayudar aún más a su intuición: los grupos de mentiras son "casi siempre" grupos de matrices de la siguiente manera. Hay un corolario de un teorema difícil conocido como el teorema de Ado de que cada álgebra de Lie se puede realizar como un álgebra de Lie de matrices cuadradas. No ocurre lo mismo con los grupos de Lie: no todo grupo de Lie se puede representar como un grupo de matrices pero es casi cierto (una consecuencia del teorema de Peter-Weyl es que todo grupo compacto se puede realizar como un grupo de matrices cuadradas) . Ciertamente, dado que podemos encontrar una realización de matriz cuadrada para cada álgebra de Lie, podemos construir un grupo de matrices de Lie con esa álgebra como su álgebra de Lie a través de la función exponencial matricial; luego encontramos la cubierta universal de ese grupo matriz y aquí es donde a vecesno se puede obtener un grupo de matriz. Esto no es típico y los primeros grupos de Lie que no eran también grupos de matriz (los llamados grupos metaplécticos) no se encontraron hasta 1937. Estos bichos raros son todos grupos de cobertura de grupos no compactos.

Cabe señalar entre paréntesis que el álgebra de Lie$\operatorname{Lie}(U(1)\times SU(2)\times SU(3))$del producto directo$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$es la suma directa de las respectivas álgebras de Lie, por lo que este es un resultado similar al que puede haber estado pensando cuando hizo su pregunta: en símbolos:

$$\begin{array}{lcl}\operatorname{Lie}(U(1)\times SU(2)\times SU(3)) &=& \operatorname{Lie}(U(1))\oplus \operatorname{Lie}(SU(2)) \oplus \operatorname{Lie}(SU(3))\\ &=& u(1) \oplus su(2)\oplus su(3)\end{array}$$

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Grupos de Lie y Teoría de Galois

De hecho, Lie imaginó una teoría de Galois para grupos continuos y hay analogías, pero la teoría de Lie es más complicada. Las álgebras de Lie lineales simplifican el estudio de algunas propiedades del grupo de Lie no lineal y existe una correspondencia biunívoca entre los subgrupos de Lie de un grupo de Lie.$\mathfrak{G}$y subálgebras de Lie de su álgebra de Lie$\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(\mathfrak{G})$: esta es la llamada "Correspondencia de mentiras" detallada en el capítulo 2 de [Rossmann] (la correspondencia se analiza en la sección 2.5) al igual que los subgrupos normales del grupo de Galois de una extensión de campo corresponden uno a uno con todos los campos de extensión contenidos dentro de la extensión particular y, por lo tanto, podemos estudiar los campos de extensión estudiando el grupo de automorfismos de Galois en ellos. En la otra dirección, el grupo de Lie actúa sobre su propia álgebra de Lie a través de su propia representación adjunta a la que se hizo referencia anteriormente, al igual que el grupo de automorfismos de Galois actúa sobre los campos de extensión que se utilizan para estudiar.

Referencias y obtener más información

Hay tres excelentes referencias que recomendaría:

Wulf Rossmann, "Grupos de mentiras, una introducción a través de los grupos lineales"

John Stillwell, "Teoría de la mentira ingenua"

Brian Hall, "Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental"

Lea los dos primeros capítulos de Rossmann y todo Stillwell a fondo para conocer los fundamentos y el libro de Hall apresura un poco los fundamentos para llegar a la teoría de la representación, que es de gran utilidad para los físicos. Stillwell no cubre la teoría de la representación; está pensada principalmente para estudiantes universitarios, pero vale la pena leerla. Stillwell's es la mejor descripción, en mi opinión, de las ideas de topología global discutidas aquí.

Otro librito extraordinario

J Frank Adams "Conferencias sobre grupos de mentiras"

muestra hasta dónde se puede llegar en el estudio del grupo de Lie altamente no lineal sin usar el álgebra de Lie. Ciertamente me sorprendió.

También está el artículo que cité:

K. Engø, "Sobre la fórmula BCH en SO (3)" , BIT Numerical Mathematics 41 (2001), no.3, pp629--632.

Como vimos, el grupo fundamental del grupo de Lie es siempre abeliano (como lo es de hecho el grupo fundamental de cualquier grupo topológico) y esta es la razón por la que no me gusta mucho el enfoque moderno que presenta el grupo de Lie como una variedad con grupo estructura: una variedad es una cosa demasiado amplia y general y no necesita nada como la geometría diferencial completa para comprender bien un grupo de Lie. Aunque es bueno abstraer y generalizar, se podría decir que este enfoque consiste en ver los árboles del bosque desde demasiado lejos para poder verlos bien a primera vista. "Introducción completa a la geometría diferencial" de Spivakenseña grupos de Lie como este, mientras que intelectualmente fui por el otro lado usando las referencias de [Rossmann], [Stillwell] y [Hall] y luego usé la intuición sobre los grupos de Lie para ayudarme a comprender la geometría diferencial de variedades riemannianas más generales: una comienza con un conjunto simple de axiomas sobre la vecindad de la identidad en el grupo de Lie y$C^1$caminos en él y luego define todo el componente conectado como el grupo más pequeño que contiene este vecindario: de esta manera, la variedad analítica del grupo de Lie "se construye a sí misma" y, de hecho, la solución de Montgomery, Gleason y Zippin al quinto problema de Hilbert muestra que ni siquiera es necesario asumir diferenciabilidad , porque surge naturalmente solo de los supuestos sobre la continuidad de un grupo de Lie. La idea del grupo de Lie surge de supuestos aún más primitivos en el caso de grupos de Lie compactos semisimples: porque no hay otra estructura de grupo abstracto posible para tal grupo de Lie, por lo que incluso la topología surge solo de la estructura algebraica y cada automorfismo de grupo como un grupo abstracto. conserva la estructura del grupo de Lie también (van der Waerden, BL,págs. 780 - 786). Los grupos de mentiras son realmente muy especiales y la idea moderna de una variedad contiene demasiada maquinaria para verlos claramente. Intuitivamente, esta naturaleza tan especial proviene de la homogeneidad : el hecho de que la acción grupal clona la estructura alrededor de la identidad y el vecindario en toda la variedad y simplemente no hay muchos sistemas de axiomas y comportamientos que puedan resistir tal "clonación" total y aún así. se consistente.

no, el grupo$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$no es un espacio vectorial de ningún tipo porque no tiene ninguna operación de suma (conmutada) (las variedades de grupos curvos rara vez pueden tener tal estructura).

El artículo "extensión de grupo" al que se vinculó deja muy claro que la extensión de grupo no tiene que ser un espacio vectorial y la operación de grupo no tiene que ser abeliana.

Las extensiones de campo son conmutativas (y espacios vectoriales) porque un campo en sí mismo es un anillo conmutativo. Pero el grupo del modelo estándar no se basa en ningún campo en este sentido matemático y el grupo no es abeliano, es decir, no se desplaza; eso es lo que los físicos describen como "grupos en la teoría de Yang-Mills".

No, no es cierto que las partículas individuales "sean" espacios vectoriales. QFT, como cualquier teoría cuántica, tiene un importante espacio vectorial complejo, el espacio de Hilbert. Ningún otro espacio que aparece en el formalismo de QFT son espacios vectoriales en general. Esto también responde a su última pregunta al negar sus suposiciones.

Solo para estar seguro, se pueden considerar teorías de "primera cuantificación" o sectores de QFT de una partícula. Tienen su propio espacio de Hilbert que podría interpretarse como el espacio vectorial para "una partícula". Pero podrías haber querido decir algo completamente diferente; no estaba claro qué papel debería desempeñar su espacio vectorial hipotético conectado con una partícula.