Lie algebra en términos simples [cerrado]

Es un tema enorme, pero brevemente:

Los grupos de mentiras son grupos suaves . Técnicamente , los grupos de Lie son conjuntos que son a la vez una variedad suave, como una esfera, por ejemplo, y también tienen una estructura de grupo (operador de multiplicación, inversos y una identidad). La multiplicación de grupos y la inversa deben ser funciones suaves (diferenciables) en la variedad.

Como mencionaste, el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional, llamado SO(3), es un ejemplo de un grupo de Lie. Las rotaciones tienen una estructura de grupo porque puedes componer o invertir rotaciones y obtener otras rotaciones, y también son una variedad suave porque puedes variar suavemente el eje o el ángulo y así moverte continuamente de una rotación a otra.

Hay muchos otros ejemplos de grupos de Lie. Muchos tipos de transformaciones geométricas en diferentes espacios forman grupos de Lie. Aparecen en la física en transformaciones del espacio-tiempo (el grupo de Poincaré , en general) y en las llamadas "simetrías internas" que transforman diferentes campos cuánticos entre sí (a menudo grupos unitarios especiales de varias dimensiones). Otro ejemplo son los grupos de difeomorfismo , que aparecen en la relatividad general y la teoría de cuerdas y también son grupos de Lie.

En cuanto a las álgebras de Lie , están estrechamente relacionadas con los grupos de Lie. Un álgebra de Lie consiste básicamente en los "elementos infinitesimales" de un grupo de Lie, es decir, los "elementos infinitesimalmente cercanos a la identidad". (Lo puse entre comillas porque en el análisis estándar, los elementos infinitesimales en realidad no existen; técnicamente, un álgebra de Lie se define en el espacio tangente del grupo de Lie en la identidad. Aún así, la imagen de los elementos infinitesimales es una herramienta útil y útil). manera intuitiva de pensar acerca de esto.)

Por ejemplo, en el caso de las rotaciones, estaríamos hablando de rotaciones sobre cualquier eje por ángulos infinitesimales.

Cuando multiplicas dos elementos de grupo que están muy cerca de la identidad, la multiplicación de grupo parece una suma vectorial, básicamente de la misma manera que$(1+\delta)(1+\epsilon) \approx 1 + (\delta + \epsilon)$cuando$\delta$y$\epsilon$son pequeños. Similarmente,$(1+\epsilon)^{-1} \approx 1 - \epsilon$y así la inversión de grupo parece una negación vectorial. Entonces, el álgebra de Lie hereda sus operaciones de las del grupo de Lie subyacente, pero no parece un grupo en sí mismo, sino que parece un espacio vectorial.

El álgebra de Lie también tiene, además de las operaciones de espacio vectorial estándar, una operación bilineal llamada corchete de Lie, denotada$[x, y]$(dónde$x, y$son dos vectores en el álgebra de Lie y$[x, y]$genera otro vector). Esta operación mide "cuán no conmutativo" es el grupo de Lie; en términos generales, corresponde al conmutador$[A, B] = AB - BA$del grupo Mentira.

Ahora, lo divertido e interesante de un álgebra de Lie es que, aunque se deriva de solo una porción infinitesimal de un grupo de Lie, contiene, codificado dentro de él, ¡ casi todo lo que hay que saber sobre el grupo del que proviene! De hecho, puede reconstruir todo el grupo de Lie, comenzando solo con el álgebra de Lie, utilizando el mapa exponencial, una generalización de la función exponencial ordinaria.

(Es casi porque hay algunos casos en los que diferentes grupos de Lie tienen la misma álgebra de Lie, pero diferentes estructuras globales, por ejemplo, SO(3) y SU(2).)

Y dado que las álgebras de Lie son espacios vectoriales, y el corchete de Lie es una operación bilineal, todo lo que realmente necesita tener es un conjunto de vectores base para el álgebra de Lie y saber qué hace el corchete de Lie con cada par de vectores base.

Tal conjunto de vectores base se denomina conjunto de generadores del grupo. Si aplica el corchete de mentira a cada par de generadores y escribe los vectores resultantes como coordenadas en la misma base, el conjunto de números que obtiene se denominan constantes de estructura .

A partir de los generadores y las constantes de estructura, puede generar el álgebra de Lie y, desde allí, todo el grupo de Lie (¡excepto por las ambigüedades de la estructura global como se mencionó anteriormente)! Esto hace que las álgebras de Lie sean una herramienta muy poderosa para comprender los grupos de Lie que aparecen en la física. Por ejemplo, en física de partículas, los bosones de calibre (fotón, W, Z, gluones) están estrechamente relacionados con los generadores de grupos de simetría internos; el momento y el momento angular están relacionados con los generadores del grupo de Poincaré, y así sucesivamente.

Hay mucho más que podría decirse sobre esto, ¡ni siquiera he mencionado las representaciones!, pero esto probablemente sea suficiente para una respuesta, así que me detendré aquí. :)

por qué es una idea tan frecuente.

En física de partículas elementales y física nuclear, los grupos y sus representaciones han jugado un papel crucial en el desarrollo de los modelos estándar.

Las partículas elementales en la tabla del enlace de arriba tienen muchos números cuánticos. Estos números cuánticos han dado lugar a simetrías observadas, que pueden describirse mediante representaciones del grupo SU(3). Este grupo obedece al álgebra de Lie.

La simplificación en los modelos teóricos viene porque se puede hipotetizar que a primer orden todas las partículas pertenecientes a una representación dada tendrán el mismo comportamiento en una interacción, ignorando los números cuánticos que las diferencian.

Un ejemplo simple es la simetría SU(2) del espín isotópico en la construcción del núcleo. El protón y el neutrón pertenecen a una representación donde el protón obtiene 1/2 espín isotópico y el neutrón -1/2, pero el vector (1/2, -1/2) se comporta igual a primer orden para las interacciones fuertes de el núcleo (que se desborda de la fuerza fuerte elemental, pero esta es otra historia).

La ordenación en estructuras de grupos simplifica los cálculos y organiza los datos. Los estados de espín de los electrones y los nucleones también se pueden describir mediante la simetría de SU(2), y si las interacciones de espín no se pueden despreciar, entonces el álgebra de Lie entra en escena. Este es un libro dedicado a simetrías y grupos , en física de partículas, uno puede mirar en línea.

En conclusión, las simetrías conducen a estructuras de grupo y simplificación de cálculos y es natural que en estado sólido también se utilice la poderosa herramienta de las álgebras de Lie.