¿Por qué el álgebra de Lie del grupo unitario es generado por unidades matriciales?

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¿Por qué el álgebra de Lie del grupo unitario es generado por unidades matriciales?

Física
mentira-álgebra
teoría de grupos

chiste cósmico

He leído esto específicamente en el capítulo 2.10 del libro Álgebras de Lie y aplicaciones de Francesco Iachello, pero también vi definiciones similares en varios artículos de físicos: El álgebra de Lie de $\mathrm{U}(d)$ es generado por las unidades de la matriz $E_{ij}:=|j\rangle\langle i|$ , dónde $\{|i\rangle\}_{i=1}^N$ es una base ortonormal sobre $\mathbb{C}^d$ . En consecuencia, podemos obtener un conjunto de generadores para el álgebra de Lie de SU(d), si hacemos estas matrices sin trazas, es decir, haciendo $\overline{E}_{i,j}:=|j\rangle\langle i|-\frac{1}{d}\delta_{i,j}\mathrm{Id}$ . (Solo $d^2-1$ de estos generadores son independientes.)

Según tengo entendido, el álgebra de Lie de $\mathrm{U}(d)$ debería contener solo matrices sesgadas-hermitianas, y estos generadores obviamente no son eso. Por ejemplo, $\exp(E_{1d})$ no es unitario, cuando debería serlo si $E_{1d}$ realmente era un elemento del álgebra de Lie. De hecho, creo que el álgebra de Lie generada por el conjunto $\{E_{i,j}\}_{i,j=1}^d$ es en realidad la del grupo lineal general. ¿Qué estoy malinterpretando aquí?

ZeroTheHero

E_{i j}

$E_{ij}$ no es hermitiano (o anti hermitiano) por lo que su exponencial no está en

U (n)

$U(n)$ . Necesitas exponenciar combos hermitianos de

E

$E$ 's para obtener un elemento en

U (n)

$U(n)$ . El

E

$E$ Sí forman una base para el álgebra..

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¿Por qué el álgebra de Lie del grupo unitario es generado por unidades matriciales?

$E_{ij}$ no es hermitiano (o anti hermitiano) por lo que su exponencial no está en $U(n)$ . Necesitas exponenciar combos hermitianos de $E$ 's para obtener un elemento en $U(n)$ . El $E$ Sí forman una base para el álgebra..

ohneVal · Answer 1

Como suele ser el caso, el problema radica en las convenciones. Para los matemáticos, los generadores del Álgebra de Lie son cualquier base que pueda abarcar el álgebra como un espacio vectorial, para los físicos normalmente requerimos que los propios generadores sean hermíticos (por ejemplo, piense en las matrices de Pauli), debido a su interpretación como observables.

Aclaremos también la diferencia entre Álgebra y Grupo. El álgebra de Lie es un espacio vectorial y un álgebra gracias al corchete de Lie (el conmutador), se denota con letras fraktur en versalita. Así que para este caso: $\mathfrak{u}(N)$ es el álgebra de mentira del grupo de matrices unitarias de dimensión $N\times N$ . El grupo se denota por $U(N)$ y es un grupo bajo la multiplicación de matrices habitual, cuyos elementos son de hecho matrices unitarias (por lo tanto, entradas complejas).

La condición del álgebra sobre los elementos del álgebra se obtiene derivando la condición de unitaridad,

A A^{†} = 1,

$A A^\dagger = 1,$ lo que da

A + A^{†} = 0

$A + A^\dagger = 0$ que no es otra cosa que la condición anti-ermitiana. Esto significa que el álgebra de Lie es el espacio vectorial de todas las matrices de dimensión antihermitianas.

N \times N

$N\times N$ . Entonces para una matriz

A \in u (N)

$A\in \mathfrak{u}(N)$ la exponenciación te da un elemento de

U (N)

$U(N)$ , y se puede demostrar que todos los elementos en la vecindad de la identidad de

U (N)

$U(N)$ puede describirse mediante la exponenciación de algún elemento de

u (N)

$\mathfrak{u}(N)$ . En este punto somos libres de describir la matriz

A

$A$ como deseamos Como físicos, queremos elegir una base de elementos hermitianos (nótese que si

A

$A$ es anti-ermitano entonces

- i A

$-iA$ es hermitiano, o viceversa si

σ

$\sigma$ entonces es hermitiano

i σ

$i\sigma$ es anti-ermitiano), así que tengamos una base para

u (N)

$\mathfrak{u}(N)$ de elementos hermíticos multiplicados por

i

$i$ y voilá

A = \sum_{norte} C_{norte} i σ_{norte} \in tu (norte)

$A = \sum_n c_n i \sigma_n \in \mathfrak{u}(N)$ y exponenciando

Exp (A) = Exp (\sum_{norte} C_{norte} i σ_{norte}) \in tu (norte)

$\exp(A) = \exp\left(\sum_n c_n i \sigma_n \right) \in U(N)$

para el caso de $SU(N)$ es el $\det = 1$ condición que cuando se diferencia fuerza a las matrices de su álgebra a no tener trazas.

Hasta ahora hemos hablado implícitamente de álgebras de Lie como espacios vectoriales reales , es decir $c_n$ arriba son reales y no cambian las propiedades hermitianas de $A$ . Sin embargo, también se puede complejizar el álgebra (construir un nuevo álgebra), por lo que se obtiene un espacio vectorial sobre los números complejos, lo que permite matrices antihermitianas y hermitianas. Entonces tenemos

\begin{aligned} tu (norte) & = matrices antihermitianas \\ {tu}_{C} (norte) & = gramo yo (norte, C) = tamaño de matrices complejas norte \times norte \end{aligned}

$\begin{align} \mathfrak{u}(N) &= \text{anti-hermitian matrices}\\[7pt] \mathfrak{u}_\mathbb{C}(N) &= gl(N,\mathbb{C}) = \text{complex matrices size} N\times N \end{align}$

Debes escribir en minúsculas $gl(N, \mathbb{C})$ cuando te refieres al álgebra de todas las matrices complejas. Las mayúsculas se reservan para el grupo de matrices invertibles.

pedro · Answer 2

Ciertamente tiene razón en que el álgebra de Lie de $U(d)$ consiste en sesgo-hermitiano $d \times d$ matrices. Sin embargo, los físicos a menudo complican implícitamente las álgebras de Lie, sin siquiera molestarse en mencionar que lo están haciendo. La complejización de $u(d)$ es de hecho $gl(d, \mathbb{C})$ . Eso es porque multiplicando por $i$ obtenemos matriz hermitiana, y cualquier matriz puede expresarse como la suma de una matriz hermitiana y una matriz sesgada-hermitiana. Puede encontrar más discusiones sobre grupos de Lie y álgebras en matemáticas versus física en el libro de Peter Woit 'Teoría cuántica, grupos y representaciones'.

Gracias, esto explica mi malentendido, pero también plantea una nueva pregunta: ¿Cuándo es apropiado considerar la complejización del álgebra de Lie en lugar de la original? El contexto que leí sobre las unidades matriciales como generadores fue la construcción de los operadores de Casimir. Si uso las unidades de matriz como generadores para construir operadores de Casimir, entonces en realidad obtengo operadores de Casimir de $gl(d,\mathbb{C})$ . ¿Cómo funcionan los operadores de Casimir de $gl(d,\mathbb{C})$ relacionarse con los de $u(d)$ ? No creo que vivan necesariamente en el (real) álgebra envolvente universal de $u(d)$ .
No estoy seguro; considere hacer esto como una pregunta nueva (con más contexto), preferiblemente en math stackexchange o mathoverflow.

olivo · Answer 3

Por lo que recuerdo, es solo una cuestión de definición del término "generador". Si $H$ es hermitiano

H^{+} = H

$H^+=H$ entonces

G = i H

$G=iH$ es sesgado hermitiano:

H^{+} = (i GRAMO)^{+} = - i GRAMO = - H

$H^+=(iG)^+=-iG=-H$ Entonces, después de todo, el parámetro dentro del exponencial difiere solo en una unidad imaginaria, que no cambia mucho, al menos en cuanto a la notación. En lugar de generar un subgrupo de un parámetro por

Exp (λ GRAMO)

$\exp(\lambda G)$ dónde

G

$G$ es sesgado-hermitiano, lo generas por

Exp (i λ H)

$\exp(i\lambda H)$ dónde

H

$H$ es hermético.

Sí, entiendo que si los elementos del álgebra de Lie son hermitianos o sesgados depende de si definimos la multiplicación por i en el mapa exponencial. Los físicos tienden a usar i mientras que los matemáticos no. Sin embargo, esto no responde realmente a las preguntas porque las unidades de la matriz no son hermitianas cuando están fuera de la diagonal, y $\exp(iE_{ij})$ no es unitario para $i\neq j$ .
@cosmicjoke: sí, me perdí ese detalle. De hecho, parece que tiene razón, la base de álgebra mencionada en el libro de texto genera el grupo lineal general en $C^d$ . Por supuesto, desde $U(d)$ es un subgrupo del grupo lineal general, la base general es también una base del álgebra de $U(d)$ (cuando se combina correctamente linealmente...). Sin embargo, es un poco extraño expresarlo de esa manera. Pero falta el contexto en su pregunta, por lo que tal vez se explique un poco mejor en el libro.

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