¿Qué restricciones en las condiciones de contorno de tiempo tiene que usar la transformada de Fourier para resolver la ecuación de onda?

La respuesta simple a su pregunta es esta: dadas suposiciones razonables, la transformada de Fourier no impone restricciones prácticas a las soluciones de la ecuación de onda. O:

Cualquier variación de tiempo y su transformada de Fourier constituyen la misma información

para todas las señales físicamente razonables. Las transformadas de Fourier se pueden invertir sin pérdidas (en el sentido de que son únicas, es decir, sin perder información). Una transformada de Fourier es como un mecánico perfecto que puede trabajar con cualquier máquina física. Él o ella puede desmontar la máquina en las partes más pequeñas que la componen, examinar cada una de estas partes en detalle y volver a armar la máquina perfectamente. Por lo tanto, la transformada de Fourier nos permite dividir reversiblemente cualquier variación de tiempo en sus variaciones armónicas de tiempo constituyentes, estudiar el efecto de estas variaciones y luego volver a unir perfectamente todas estas piezas para construir la solución original.

Ahora para algunos tecnicismos.

Creo que las verdaderas limitaciones sobre qué tipo de variación de tiempo se interpreta actualmente como representable, una transformada de Fourier es una pregunta Math SE o incluso Math Overflow: el conocimiento de aplicabilidad de FT se ha ampliado constantemente por nuevos conceptos sucesivos en matemáticas en los últimos cien años (por ejemplo, a través de la teoría de las distribuciones (funciones generalizadas), la teoría de la medida avanzada y la teoría de las hiperfunciones), por lo que no puedo afirmar que conozco el "estado del arte" actual.

Sin embargo, un buen resumen conciso es que Fourier transforma el trabajo con distribuciones temperadas , que es el espacio dual del espacio de Schwarz.

¿Qué significa esto practicamente? Probablemente cualquier variación de tiempo que quieras representar, con cualquier valor inicial, pueda ser representada por una superposición de Fourier. Explicaré estas distribuciones temperadas con más detalle a continuación y les daré algunas referencias.

Las transformadas de Laplace son, de manera un tanto extraña, en realidad más restringidas en cuanto a qué tipo de funciones pueden representar (aparte de en un sentido artificial de que pueden manejar la divergencia exponencial unilateral). Esto se debe a que el núcleo$\exp(-s\,t)$en la transformada integral ahora es ilimitada, y en general no se puede definir una transformada de Laplace en el intervalo$(\infty,\,\infty)$como se puede hacer con una transformada de Fourier. Para una transformada de Fourier, este kernel no diverge, por lo que la transformada de Fourier es un mapa unitario (conservador de energía). Por lo tanto, las transformadas de Laplace están restringidas a funciones causales , es decir, aquellas funciones$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$para lo cual hay algo$t_0\in\mathbb{R}$tal que$f(t) =0,\;\forall t < t_0$. Entonces el kernel transformado integral$\exp(-s\,t)$está acotado sobre el soporte de esta función.

Las transformadas de Fourier, por supuesto, automáticamente toman las funciones causales con calma: ahora son integrales de la forma$\int_{t_0}^\infty \,e^{-i\,\omega\,t} f(t)\,\mathrm{d}t$. Siempre que una función es causal y existe su transformada de Laplace, la transformada de Laplace es entonces la transformada de Fourier (constante multiplicativa módulo) con su dominio de definición ampliado de$\mathbb{R}$hacia el plano complejo (aparte de donde la función tiene polos) por continuación analítica. Entonces, donde son aplicables, las transformadas de Laplace son casi lo mismo que las transformadas de Fourier. Estrictamente hablando, una transformada de Laplace puede regularizar una función que diverge exponencialmente como$t\to\infty$(simplemente hacemos la parte real de la variable de transformación$s$lo suficientemente grande y positivo para cancelar esta divergencia), mientras que la transformada de Fourier no puede manejar tal divergencia. Pero esto no es probable que sea un problema práctico. Ciertamente, casi nunca es un problema en electrodinámica. Se supone que las variaciones temporales tienen energía finita y, ya que estamos, las transformadas de Fourier también son muy útiles espacialmente para dividir un campo electromagnético en ondas planas constituyentes. Casi nunca hay ocasión de estudiar campos que divergen exponencialmente en el infinito. Además, la teoría de las transformadas de Laplace también viene equipada con procedimientos específicos para manejar condiciones iniciales que normalmente no se ven como parte integral de la transformada de Fourier, pero la separación es principalmente una cuestión de costumbre: uno puede manejar igualmente bien tales condiciones con la transformada de Fourier.

La causalidad, o el potencial de causalidad, puede detectarse mediante el criterio de Paley-Wiener; vea mi respuesta a la pregunta Más extensiones de la ecuación de onda para la dispersión para obtener más información sobre este criterio.

Transformadas de Fourier y Distribuciones Templadas

Definimos las distribuciones temperadas de la siguiente manera. En primer lugar, consideramos el espacio de Schwartz$\mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$de funciones de valor complejo definidas en$\mathbb{R}^N$(en este caso, tiene una variación de tiempo) que son (i) suaves ( es decir, tienen derivadas en todas las direcciones de todos los órdenes) y (ii) que, al igual que todas sus derivadas, se reducen "más rápidamente que la velocidad polinomial" a cero en infinidad; Estas dos condiciones se pueden resumir en$\left\|\, \left| \mathbf{x} \right|^\alpha D^\beta \psi\left(\mathbf{x}\right) \right\| < \infty,\,\forall \alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$y$D$es cualquier operador diferencial de primer orden, solo hay un operador de este tipo, a saber,$\mathrm{d}_t$cuando estamos tratando con variaciones de tiempo ( es decir, $N=1$) pero las ideas se mantienen igualmente bien en cualquier número de dimensiones. La transformada de Fourier$\mathfrak{F}\,\psi$de cualquier$\psi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$entonces se define y también pertenece al espacio de Schwartz, es decir $\psi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right) \Leftrightarrow \mathfrak{F}\, \psi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$.

Además, el núcleo de$\mathfrak{F}:\mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)\mapsto \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$es trivial, a saber$\mathfrak{F}\psi = 0, \psi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right) \Rightarrow \psi = 0$. Por último, cada miembro del espacio de Schwartz es la transformada de Fourier de algún otro miembro del espacio de Schwartz. Así, en el espacio de Scwartz:

Funciones de Schwartz en$\mathbb{R}^N$y sus transformadas de Fourier constituyen exactamente la misma información

Sin embargo, el espacio de Schwartz no incluye todos los campos que nos interesan: es posible que deseemos definir condiciones de contorno continuas por tramos, variaciones de tiempo no decrecientes (por ejemplo, sinusoide pura ) que, aunque suaves, no cumplen el criterio de decaimiento rápido sino solo el mucho más débil.$\left|\mathbf{r}\right| \psi\left(\mathbf{r}\right) \rightarrow 0$como$\left|\mathbf{r}\right| \rightarrow \infty$y de hecho$\left|\mathbf{r}\right|^2 \psi\left(\mathbf{r}\right)$generalmente diverge. Por lo tanto, consideramos el espacio dual topológico$\mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$de todos los funcionales lineales de valor complejo en el espacio de Schwartz; el dual topológico se define por una topología más fuerte que simplemente el$\mathbf{L}^2$norma del espacio de Hilbert original$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$. Esta topología más fuerte es la inducida por la familia de normas:

$$\rho_{\alpha,\,\beta}(f) \stackrel{def}{=} \sup\limits_{\mathbf{u}\in\mathbb{R}^N} \left.||\mathbf{x}|^\alpha\,D^\beta f(\mathbf{x})|\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{u}}$$

Así, por ejemplo, el delta de Dirac es un funcional lineal continuo en$\mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$equipado con esta topología, pero no es continua en el espacio de Hilbert$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$equipado con el original$\mathbf{L}^2$norma. Así que hemos aplicado la topología más fuerte para descubrir todos los funcionales lineales que nos son útiles (Delta de Dirac, operador de multiplicación$f(x)\mapsto x\,f(x)$,$f(x)\mapsto e^{i\,k\,x}\,f(x)$y así sucesivamente) que la topología original no pudo "olfatear".

los miembros de$\mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$se conocen como distribuciones temperadas o, a veces, funciones generalizadas. Podemos pensar en un campo escalar ordinario$\psi\left(\mathbf{r}\right)$como el funcional lineal$\Psi : \mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right) \rightarrow \mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right): \varphi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right) \mapsto \int_{\mathbb{R}^N} \psi\left(\mathbf{u}\right) \varphi\left(\mathbf{u}\right) \mathrm{d}^N u$; dado un funcional lineal$\Psi \in \mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$, podemos recuperar la función ordinaria evaluando, por ejemplo,$\Psi\left(\kappa^N \exp\left(-\kappa^2 \left|\mathbf{r} - \mathbf{u}\right|^2\right) / \pi^{3/2}\right)$y tomando el límite como$\kappa\rightarrow\infty$. Si el funcional lineal en cuestión se define como se acaba de describir a partir de una función ordinaria, el valor de la función ordinaria en$\mathbf{r}\in\mathbb{R}^N$se recupera por el límite. Si no ( por ejemplo , si el funcional es la función delta), el límite no existirá en todos los puntos. Las distribuciones temperadas también tienen las propiedades útiles de que:

1. La transformada de Fourier de una distribución templada también es una distribución templada;

2. Cualquier distribución temperada es la transformada de Fourier de una distribución temperada; y

3. El kernel de la transformada de Fourier es trivial. Más concisamente,$\mathfrak{F}$es entonces una biyección unitaria (uno a uno, sobre el mapa) de$\mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}\right))$sobre sí mismo

Así que ahora tenemos de nuevo:

Distribuciones temperadas en$\mathbb{R}^N$y sus transformadas de Fourier constituyen exactamente la misma información

y casi cualquier cosa soñada en problemas prácticos puede ser representada por distribuciones temperadas.

Algunas buenas referencias para estos conceptos:

1. EM Stein y GL Weiss, Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos, Princeton University Press, 1990, Capítulo 1, especialmente las Secciones 2 y 3 de ese capítulo.

2. MJ Lighthill, "Introducción al análisis de Fourier y funciones generalizadas", Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1996, Capítulo 4, especialmente la sección 4.2 y el Teorema 17. Lighthill usa el nombre ligeramente poco convencional función "buena" para cualquier miembro del espacio de Schwartz; aparte de la nomenclatura inusual, esta es una excelente referencia legible.

3. JK Hunter y B. Nachtergaele, "Análisis aplicado", World Scientific Publishing Company Incorporated, Singapur, 2005, Capítulo 11, sección 11.2.

4. La sección "Distribuciones temperadas y transformada de Fourier" en la página de Wikipedia para Distribución_(matemáticas)

Supongo que el punto de partida original es el conjunto de ecuaciones de Maxwell para E y B. Eliminando el segundo se llega a una ecuación para E que involucra su segunda derivada temporal. Por tanto, tanto E como d/dt E deben darse en el tiempo inicial. Si este último es finito, digamos t=0, entonces se puede hacer una transformada de Laplace compleja (variable compleja z con parte imaginaria positiva). El resultado presenta el operador inverso de Helmholtz L (z)^(-1) actuando en términos proporcionales a E (t=0) y (d/dt E )(t=0). La transformada inversa de Laplace da E (t). Tenga en cuenta que L(z)^(-1) conduce a la función de Green apropiada, G (* x *, y ,z)= < x|L (z)^(-1)| y >. Las transformadas de Fourier no son tan convenientes como las transformadas de Laplace en tales problemas con condiciones iniciales en el tiempo.

En situaciones de dispersión, el comportamiento de los campos para todos$t\in (-\infty,+\infty)$es relevante. Considere el caso en el que un paquete de ondas electromagnéticas se dispersa desde un objeto dieléctrico finito, como una esfera. Inicialmente, durante largos tiempos negativos, se mueve libremente hacia el dispersor y, después de dispersarse, el paquete de ondas disperso se mueve libremente de nuevo.

$$\mathbf{E}(\mathbf{x},t)\overset{t\rightarrow\pm\infty}{\sim}\mathbf{E}_{\pm }(\mathbf{x},t),\;\mathbf{B}(\mathbf{x},t)\rightarrow\overset{t\rightarrow \pm\infty}{\sim}\mathbf{B}_{\pm}(\mathbf{x},t),$$

dónde$\mathbf{E}_{\pm}(\mathbf{x},t)$y$\mathbf{B}_{\pm}(\mathbf{x},t)$satisfacer las ecuaciones de Maxwell en el vacío. El procedimiento estándar es entonces introducir operadores de onda, lo que lleva a un operador de dispersión, a partir del cual se pueden obtener todas las propiedades del proceso de dispersión. Ahora bien, no existe una condición inicial dada, sino una expresión para el movimiento asintótico del sistema como$t\rightarrow-\infty$que corrige el comportamiento de los campos. El procedimiento real es bastante largo, véase, por ejemplo, A. Tip, Phys. Rev. 56 , 4818 (1998), Sección VI.

Otra observación sobre las transformadas de Laplace: son extremadamente importantes para el estudio de una evolución temporal unitaria en el espacio de Hilbert (una evolución temporal lineal en el caso electromagnético se puede formular de esta manera). Entonces, módulo una constante, la transformada de Laplace de la evolución es igual al resolvente$R(z)=[z-H]^{-1}$de su generador

$$\int_{0}^{\infty}dt\exp[izt]\exp[-iHt]=-i[z-H]^{-1}$$ (Soy $z>0$) y ha resultado que el estudio de las propiedades de $H$se realizan más convenientemente a través de su resolvente (ver Operadores lineales de Kato o los volúmenes de Reed y Simon).