Ondas estacionarias: ¿Cómo se "cancelan" del modo normal las ondas que no respetan las condiciones de contorno?

tiene razón al afirmar que si ignoramos la amortiguación, todos los tipos de ondas seguirán reflejándose para siempre.

Sin embargo, si añadimos amortiguamiento, la situación cambia. La cantidad de amortiguamiento depende de la frecuencia de la oscilación. Solo las oscilaciones de baja frecuencia sobrevivirán.

Las excitaciones típicas de una cuerda de guitarra, sin embargo, no tienen una sola frecuencia: son una mezcla de diferentes frecuencias. Las únicas excitaciones que tienen una sola frecuencia son aquellas que tienen una forma sinsoidal y obedecen las condiciones de contorno.

Coincidentemente, todas las demás excitaciones se pueden describir como una suma de estos componentes básicos usando un truco matemático llamado serie de Fourrier. Por lo tanto, cualquiera que sea la forma de su cuerda, siempre se puede describir como una suma de excitaciones sinusoidales que obedecen las condiciones de contorno.

Ahora, dado que todos los componentes de alta frecuencia de esta suma están fuertemente amortiguados, le quedan los componentes de baja frecuencia, cualquiera que haya sido su excitación original.

La razón por la que no obtiene un espectro de frecuencia continuo es por las condiciones de contorno en los extremos de la cadena.

Suponga que comienza a mover la cuerda con un desplazamiento y una velocidad arbitrarios en el momento$t = 0$.

Supongamos que la cadena tiene una longitud finita$L$y llamamos al desplazamiento de la cuerda$u(x,t)$para$0 <= x <= L$y$0 <= t$. Si los extremos de la cuerda son fijos,$u(0,t) = u(L,t) = 0$para todos$t$.

Dado que la longitud es finita, puede describir cualquier desplazamiento y velocidad inicial con una serie discreta de Fourier con términos

El movimiento continúa como una suma de ondas que viajan hacia adelante y hacia atrás, todas moviéndose a la misma velocidad.$c$(la solución de d'Alembert a la ecuación de onda).

Los términos individuales en la serie de Fourier anterior producen ondas estacionarias cuyas frecuencias son múltiplos de la frecuencia fundamental$f_0$, es decir$f_k = kf_0$para$k = 1, 2, \dots$.

Está asumiendo que todas las frecuencias concebibles están presentes al principio (cuando toca la cuerda), y luego, con el tiempo, las frecuencias inadaptadas desaparecen. Su suposición es incorrecta ya que los extremos de la cadena se mantienen fijos desde el principio, y cualquier frecuencia que no dé un desplazamiento cero en los extremos de la cadena (equivalente a la que no satisface la condición que ha mencionado) simplemente no estará presente, desde comienzo.