Ecuación de ondas sonoras: condiciones de contorno de Neumann

En este trabajo se describe la solución de la ecuación de onda amortiguada en coordenadas cilíndricas

$$\nabla^2\left(c^2\rho_1+\nu\frac{\partial\rho_1}{\partial t}\right)-\frac{\partial^2\rho_1}{\partial t^2}=0$$

dónde$\rho_1$es la diferencia de la densidad relativa al estado no perturbado$\rho_0$.

La condición de contorno aplicada es

$$\mathbf{v}\big|_{r=r_0}=v_A\cos(\omega t)\mathbf{\hat{r}}$$

dónde$v$es la velocidad del fluido.

Afirman que esta condición de contorno se puede reescribir como

$$\begin{equation} \frac{\partial\rho_1}{\partial r} \bigg|_{r=r_0}=\frac{\rho_0v_A\omega c^2}{\nu^2\omega^2+c^4}\sin(\omega t)-\frac{\rho_0v_A\omega^2 \nu}{\nu^2\omega^2+c^4}\cos(\omega t)\tag{1} \end{equation}$$

simplemente imponente$\nabla\times \mathbf{v}=\mathbf{0}$y usando las ecuaciones para la conservación de la masa y el momento

$$\frac{\partial\rho_1}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho_0 \mathbf{v}) =0$$ $$\frac{\partial}{\partial t}(\rho_0 \mathbf{v})+c^2\nabla\rho_1+\nabla \cdot \mathbf{D}_1=\mathbf{0}$$

dónde$\mathbf{D}_1$es el tensor de tensión viscoso.

Es posible demostrar que, si$\nabla\times \mathbf{v}=0$, entonces$\nabla \cdot \mathbf{D}_1 = -\nu\nabla^2\mathbf{v}$.

Me esforcé mucho pero no he podido probar la ecuación$(1)$. ¿Sabes cómo proceder?

Referencia:

Euan McLeoda y Craig B. Arnold, Mecánica y optimización de la potencia de refracción de lentes de gradiente acústico ajustables , Journal of Applied Physics 2007 102:3