Importancia física de obtener una función no integrable en una ecuación

En primer lugar, no estoy seguro exactamente de lo que quiere decir con una función no integral. John Dodson discutió dos interpretaciones que comúnmente aparecen en la física: funciones no elementales y singularidades. La única otra posibilidad que se me ocurre son integrales como

$$\int_{-1}^{1}\mathrm{sin}(\frac{1}{x})dx$$ Este oscila infinitamente muchas veces cerca del origen, de modo que básicamente no está definido en x = 0. Hasta donde yo sé, estas "funciones patológicas" no aparecen en la física.

Dicho esto, intentaré dar una respuesta más satisfactoria repasando un ejemplo del electromagnetismo: la función de Green. Para que sepa a dónde va esto, le daré una descripción general: la función de Green es importante para resolver las ecuaciones de Maxwell para distribuciones de carga arbitrarias, pero tratar de evaluarla ingenuamente conduce a una integración similar a$\int \frac{dx}{x}$- pero para que las ecuaciones tengan algún significado, necesitamos que esta integral sea finita . Para lograr esto, necesitaremos integrarnos a través del plano complejo, un proceso extraño que produce resultados interpretables físicamente. Las matemáticas de este ejemplo serán un poco sofisticadas, pero solo se requiere una comprensión vaga de los conceptos para ver qué está pasando.

Ecuaciones de Maxwell simplificadas

Las ecuaciones de Maxwell hablan de las interacciones del campo eléctrico y magnético a través de ecuaciones diferenciales. Resulta que podemos representar los campos eléctrico y magnético introduciendo un solo vector potencial$A$con cuatro componentes: un componente de "tiempo"$\phi/c$y tres componentes espaciales representados por el vector$\bf{\vec{A}}$. Entonces los campos eléctrico y magnético están dados por

$$\bf{\vec{E}}=\bf{\vec{\nabla}}\phi,\quad \bf{\vec{B}}=\bf{\vec{\nabla}}\times\bf{\vec{A}}$$ y las ecuaciones de Maxwell son $$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi(\bf{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2\phi(\bf{x},t) = \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\bf{\vec{A}}(\bf{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2\bf{\vec{A}} (\bf{x},t) = \mu_0\bf{\vec{J}}$$ (Puede ir aquí para obtener más información sobre las ecuaciones de Maxwell y aquí para obtener más información sobre el operador $\bf{\vec{\nabla}}$).

Función de Green

Centrémonos en la primera de las ecuaciones de Maxwell, la de$\phi$. Una forma de encontrar soluciones para cualquier$\rho$(es decir, la densidad de carga) es comenzar con las soluciones para$\rho=0$- es decir, soluciones a:

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = \nabla^2\phi$$ Si actualmente estás en Cálculo, esta ecuación puede parecer desalentadora; sin embargo, la solución resulta ser trivial: vea la ecuación de onda en Wikipedia. Si podemos relacionar las soluciones con las ecuaciones de Maxwell para cualquier $\rho$a estas soluciones conocidas para $\rho=0$, entonces estamos bien! La forma de hacer esto es usar una función de Green para la ecuación de onda: una función tal que $$\phi_\rho(\bf{x},t) = \phi_0(\bf{x},t) + \int G(\bf{x-x'},t-t')\rho(\bf{x'},t')d^4 x$$ dónde $\phi_\rho$es una solución a la ecuación de Maxwell, y $\phi_0$es una solución a la $\rho=0$caso. La integral se toma sobre las cuatro dimensiones del espacio-tiempo (de ahí el símbolo $d^4x$). Existe una ecuación diferencial especial que nos dará la función de Green, y su solución se puede representar como:

$$G(\textbf{x},t) = \int \frac{e^{i(\omega t - \textbf{k}\cdot\textbf{x})}d^4k}{\omega^2 - \textbf{k}^2}$$

Esta integral se realiza sobre cuatro variables: la variable "frecuencia"$\omega$y el vector "número de onda"$\textbf{k}$. Estos corresponden a las diversas soluciones de onda a la$\rho=0$ecuación.

Función no integrable

Entonces, ¿qué tiene esto que ver con tu pregunta? Digamos que tratamos de integrar sobre la variable$\omega$. esto parece

$$\int\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i(\omega t - \textbf{k}\cdot\textbf{x})}}{\omega^2 - \textbf{k}^2}d\omega\right) d^3\textbf{k}$$

Si descomponemos en fracciones parciales, tenemos

$$\int\frac{e^{i(\textbf{k}\cdot\textbf{x})}}{2|\textbf{k}|}\left(\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega t}}{\omega - |\textbf{k}|}d\omega\right) - \left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega t}}{\omega + |\textbf{k}|}d\omega\right)\right) d^3\textbf{k}$$ Ambas integrales internas son obviamente problemáticas: integrar directamente desde $-\infty$a $\infty$, nos topamos con dos singularidades cuando $\omega = |\textbf{k}|$o $\omega = -|\textbf{k}|$!

Cuando nos encontramos con integrales como estas, tenemos que hacer algunos trucos para obtener información significativa de ellas. El truco que usamos aquí no es integrar directamente de un extremo al otro, sino tomar un camino sinuoso a través del plano complejo que evita las singularidades no integrables. Los caminos posibles incluyen pero no se limitan a:

Solución "avanzada " Solución "retrasada"

La solución retardada se llama así porque tiene en cuenta las ondas que viajan hacia adelante en el tiempo (lo que significa que la carga$\rho$solo puede afectar el futuro) y la solución avanzada tiene en cuenta las ondas que viajan hacia atrás en el tiempo (lo que significa que la carga$\rho$puede afectar el pasado). Dado que aún no hemos sido testigos de ninguna capacidad para enviar mensajes al pasado, normalmente interpretamos las soluciones retardadas como las únicas "permitidas"; las soluciones avanzadas están "prohibidas" (aunque la teoría del absorbedor de Feynman-Wheeler ofrece otra interpretación).

La solución retardada es:

$$G_R(\textbf{x},t) = \Theta(t)\frac{\delta(t-\frac{r}{c})}{4\pi r}$$ La función de paso $\Theta(t)$es cero para negativo $t$, mientras que la función delta de Dirac $\delta(x)$es cero siempre que $x$es distinto de cero. $r$representa el radio del punto $\textbf{x}$. Por lo tanto, esta ecuación corresponde a ondas que viajan hacia adelante en el tiempo con velocidad $c$.

Resumen

Para resumir, hay ciertos momentos en que las funciones no integrables entran en los cálculos físicos, y el intento de interpretar estas integrales y encontrar soluciones útiles puede llevarnos a una comprensión más amplia de la situación física.

Otra forma importante en que esto sucede es en la teoría cuántica de campos. El cálculo de los campos cuánticos que interactúan puede conducir a integrales severamente divergentes, ninguna de las cuales se evita tan fácilmente como la que vimos. Se creó una clase de técnicas conocidas como " Renormalización " para lidiar con estos infinitos, centrándose en la idea de que las teorías de campo no son válidas a pequeña escala, orientándonos hacia una teoría de alta energía más precisa que eliminará los infinitos. Aunque inicialmente controvertido, la comprensión moderna de tales teorías está bien fundamentada y tiene usos más allá de la evitación del infinito. (¡Gracias, Michael Brown!)

Por lo tanto, se podría argumentar que las funciones no integrables no solo ocurren en nuestra comprensión de la naturaleza , sino que aumentan nuestra comprensión al llevarnos a nuevos métodos de interpretación .

Espero haberle proporcionado un ejemplo satisfactorio y una respuesta a su pregunta.

EDITAR: Inicialmente llamé a las técnicas de renormalización "controvertidas", como señaló Michael Brown, esta es una caracterización un poco errónea. Cuando se introdujeron por primera vez, muchos físicos prominentes expresaron su incomodidad con estas técnicas, pero una mejor comprensión de la ciencia detrás de la renormalización ha llevado a una teoría bien fundamentada y, en la actualidad, la mayoría de las teorías cuánticas de campo se juzgan por su capacidad para renormalizarse.

Bueno, un ejemplo fácil (aunque quizás no satisfactorio) sería la integral de 1/x de [0, a].

$\int\limits_0^a \frac{1}{x}dx$

Si integras esto, divergirá hasta el infinito. Este tipo de ecuación aparece muy a menudo en la física. La mecánica cuántica tiene muchos ejemplos de esto. A menudo, en la mecánica cuántica, soluciones como estas se "descartan" y se dice que no tienen sentido, mientras que otras soluciones que tienen sentido se mantienen (esa era una forma cruda de decirlo, pero libros comunes como Griffiths o Townsend enseñan el matemáticas como esta). Puede imaginar que esto puede generar fuerzas/campos repulsivos donde el radio va desde [0, a] y debe integrarse sobre el radio.

Sin embargo, puede estar hablando de integrales indefinidas que no son integrables, lo cual es muy diferente al ejemplo relativamente simple que acabo de mostrar. Para este tipo de ejemplos, consulte la página wiki, es bastante interesante.

http://en.wikipedia.org/wiki/Nonelementary_integral

Estos son mucho más raros de encontrar en la física y, a menudo, son solo anomalías matemáticas ... Pero al mirar los que están en la página wiki, reconozco uno en particular que es:

$e^{-x^2/2}$

Esto también es extremadamente común en la mecánica cuántica cuando comienzas a usar integrales guassianas. Esto se puede evaluar con ciertos límites, pero a veces no tienes esos límites particulares y necesitas usar otros métodos para evaluar la integral. Tenga en cuenta que esto es muy real físicamente e incluso lo utilizan los físicos de partículas en el CERN todo el tiempo cuando analizan datos. Lo que debe hacer es usar una expansión de la serie de Taylor o la función de error para aproximar la respuesta... no se puede encontrar una respuesta exacta, pero se pueden encontrar respuestas bastante precisas usando esos dos métodos.

¡Espero que eso responda a tu pregunta!

Me gustaría resumir lo que me satisfizo de cada respuesta a esta pregunta.

Es cierto que las funciones no integrables o no elementales ocurren con frecuencia durante los cálculos. Son una especie de retroalimentación sobre nuestra teoría, en cuanto a la precisión con la que puede representar la Naturaleza.

Tenemos que renormalizar nuestra teoría, más correctamente, nuestra comprensión de esa situación para evitar una solución divergente.

Agradezco a @FrancisFlute, por ese excelente ejemplo de la función de Green, para mostrar que tales integrales ocurren en la física, y nos lleva a cambiar nuestra comprensión de la naturaleza, ¡con el tiempo formando mejores teorías!