Simetrías en problemas de perturbaciones degeneradas

En el capítulo de perturbaciones degeneradas de Griffiths, menciona cómo encontrar simetrías de los hamiltonianos originales y perturbadores puede simplificar el proceso de perturbaciones degeneradas de primer orden. La afirmación era que dado algún operador hermitiano$A$tal que conmuta tanto con el hamiltoniano original como con el perturbador, podemos tratar de encontrar ciertas combinaciones lineales del hamiltoniano degenerado que también es una función propia de$A$con valores propios distintos. Estas combinaciones lineales son las 'buenas' combinaciones lineales a usar, ya que solo podemos usar la teoría de perturbaciones 'ordinaria'.

Un ejemplo de Griffiths fue el pozo cuadrado cúbico con$V(x,y,z)=0$cuando$0<x,y,z<a$e infinito en otros lugares. Introduce la perturbación$H'=V_0$para$0<x,y<a/2$y quiere encontrar las correcciones de energía de primer orden para el primer estado excitado, que es triplemente degenerado. Como los estados estacionarios tienen la forma

$$\psi_{n_x,n_y,n_z}\propto\sin\left(\dfrac{n_x\pi}{a}x \right)\sin\left(\dfrac{n_y\pi}{a}y \right)\sin\left(\dfrac{n_z\pi}{a}z \right)$$ Traté de aprovechar la simetría usando el operador de intercambio. $P_{xy}$que intercambia el $x$y $y$valor. Por lo tanto, tengo: $$P_{xy}\psi_{112}=\psi_{112}$$ $$P_{xy}(\psi_{121}+\psi_{211})=\psi_{121}+\psi_{211}$$ $$P{xy}(\psi_{121}-\psi_{211})=-(\psi_{121}-\psi_{211})$$ Así que encontré tres estados 'buenos': $\psi_a=\psi_{112}$, $\psi_b=\psi_{121}+\psi_{211}$y $\psi_c=\psi_{121}-\psi_{211}$. El problema es que Griffths afirma que estos estados también deben tener valores propios diferentes con $P_{xy}$, pero los primeros dos de estos estados tienen un valor propio de 1. ¿Cómo hago esto? Si elijo trabajar sobre esta base, ¿significa que puedo garantizar los elementos de la matriz? $\langle \psi_a | H'|\psi_c\rangle = 0$y $\langle \psi_b | H'|\psi_c\rangle = 0$ya que estos dos estados tienen valores propios diferentes? Esto no parece ser cierto, ya que la respuesta de Griffth muestra que $\langle \psi_b | H'|\psi_c\rangle \neq 0$. ¿Qué estoy haciendo mal?