Sistema de espín 1/2 en el enfoque algebraico de la mecánica cuántica

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Sistema de espín 1/2 en el enfoque algebraico de la mecánica cuántica

Oro

Estoy tratando de entender el $\ast$ -Aproximación de álgebra a QM y QFT, por lo que he decidido primero tratar de entender cómo funciona esto en uno de los sistemas más simples: una partícula con espín 1/2.

Este suele ser uno de los primeros ejemplos en los libros tradicionales de QM, después de que se establecen los postulados, como el libro de Cohen.

Entonces necesitamos un álgebra de observables. La idea es que pensemos cuáles son los observables necesarios para la teoría. Para una partícula con espín 1/2 necesitamos los observables $S_x,S_y,S_z$ satisfaciendo las relaciones de conmutación del momento angular:

[S_{i}, S_{j}] = i ℏ ϵ_{i j k} S_{k}

$[S_i,S_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}S_k$

Sin embargo, es bien sabido que estas son las relaciones de conmutación del álgebra de Lie. $\mathfrak{su}(2)$ . tenemos uno $\ast$ operación en esa álgebra que es la habitual

a^{*} = (\bar{a})^{T},

$a^\ast=(\bar{a})^T,$

dónde $\bar{}$ indica conjugación compleja.

Así que parece que para tratar con el sistema de espín 1/2 en el enfoque algebraico, el apropiado $\ast$ -álgebra es $\mathscr{A}=\mathfrak{su}(2)$ .

El siguiente paso que tomarían los libros de QM es: (1) preguntar sobre estados de momento angular de espín definido y (2) predecir probabilidades para un estado general.

Ahora inmediatamente vemos un problema. El $\mathfrak{su}(2)$ ¡el álgebra no está ligada al espín 1/2, sino a cualquier momento angular ! Así ya parece que tenemos algo raro: tenemos más de lo que nos gustaría.

En segundo lugar, no está claro en este enfoque cómo describiríamos los estados de $S_z$ Por ejemplo. En el espacio de Hilbert es obvio: tenemos los estados $|+\rangle,|-\rangle$ .

En el enfoque algebraico es mucho menos claro. Deberíamos considerar un estado como un funcional. $\omega : \mathscr{A}\to \mathbb{C}$ con $\omega(1)=1$ y $\omega(a^\ast a)\geq 0$ y no está claro cómo construiríamos uno de esos $\omega$ asociado a $|+\rangle$ y $|-\rangle$ . Además, no está claro cómo funciona la superposición en este entorno: una combinación lineal de estados da una mezcla estadística, no una superposición cuántica.

Así que esto invita a algunas preguntas:

¿Qué debemos hacer con el hecho de que el álgebra describe más de lo que esperábamos (es decir, describe cualquier espín, mientras que nuestro sistema es espín 1/2)? ¿Acaba siendo esto una "restricción de los estados físicamente permitidos", es decir, tenemos estados compatibles con el sistema y otros que no lo son?
¿Cómo describimos los estados de proyección de espín definido? Por favor, aquí olvidemos eso $\mathfrak{su}(2)$ actúa naturalmente sobre $2$ -tuplas de números complejos, ya que esto sería, en mi humilde opinión, volver al enfoque habitual. Quiero pensar con el marco algebraico aquí. Creo que la idea es establecer $\omega(S_x)=\omega(S_y)=0$ y $\omega(S_z)=1$ , pero no puedo ver cómo funciona esto en la práctica.
¿Qué pasa con la superposición cuántica? Si quiero el análogo de un estado $|\psi\rangle = c_1 |+\rangle + c_2 |-\rangle$ ¿que haría yo? obviamente no es $\omega = c_1 \omega_+ + c_2 + \omega_-$ - Si entendí esto es una mezcla estadística y ni siquiera tiene sentido con $c_1,c_2\in \mathbb{C}$ .

En resumen, ¿cómo podemos configurar el sistema spin 1/2 dado como ejemplo en la mayoría de los libros de QM con el enfoque algebraico?

David Bar Moshé

Estoy preparando una respuesta detallada para esta construcción (para un momento angular general

j

$j$ ). Espero terminarlo pronto.

Oro

¡Gracias por la ayuda @DavidBarMoshe! Estoy autoestudiando AQFT en espaciotiempos curvos, y está siendo un poco difícil comenzar (nadie en mi departamento conoce el enfoque algebraico, por lo que no hay nadie para discutir). En los últimos días he estado tratando de llevar a cabo este ejemplo yo mismo. Yo creo que para un sistema con spin

j

$j$ debemos encontrar un estado tal que

π_{ω} (S^{2}) = j (j + 1) ℏ^{2} 1

$\pi_\omega(S^2)=j(j+1)\hbar^2\mathbf{1}$ . Creo entonces que un estado para girar

j

$j$ y otro para girar

j^{'}

$j'$ son disjuntos (las representaciones parecen totalmente diferentes, a partir de la dimensionalidad). Espero estar en el camino correcto.

Respuestas (1)

Sistema de espín 1/2 en el enfoque algebraico de la mecánica cuántica

Estoy preparando una respuesta detallada para esta construcción (para un momento angular general $j$ ). Espero terminarlo pronto.
¡Gracias por la ayuda @DavidBarMoshe! Estoy autoestudiando AQFT en espaciotiempos curvos, y está siendo un poco difícil comenzar (nadie en mi departamento conoce el enfoque algebraico, por lo que no hay nadie para discutir). En los últimos días he estado tratando de llevar a cabo este ejemplo yo mismo. Yo creo que para un sistema con spin $j$ debemos encontrar un estado tal que $\pi_\omega(S^2)=j(j+1)\hbar^2\mathbf{1}$ . Creo entonces que un estado para girar $j$ y otro para girar $j'$ son disjuntos (las representaciones parecen totalmente diferentes, a partir de la dimensionalidad). Espero estar en el camino correcto.

Valter Moretti · Answer 1

Primero, tu unidad $^*$ -álgebra $A$ debe definirse como un álgebra unitaria generada finitamente por tres elementos autoadjuntos $S_k$ satisfaciendo las relaciones de conmutación de $su(2)$ . ( $A$ puede verse como isomorfo al álgebra envolvente universal compleja del álgebra de Lie $su(2)$ ) Como consecuencia $S^2 := S^2_1+ S_2^2 + S_3^2$ pertenece al centro del álgebra.

Aquí, puede distinguir entre los posibles valores del giro: el requisito físico para el giro $s$ el sistema es solo $S^2 = \hbar^2 s(s+1)I$ . Dónde $I$ es el elemento unidad del álgebra.

A continuación, los estados son funcionales lineales normalizados positivos $\omega : A \to \mathbb C$ . Por lo tanto, las representaciones estándar de QM son proporcionadas por estados puros algebraicos , es decir, estados $\omega : A \to \mathbb C$ cuya representación GNS es irreducible .

Como es bien sabido, estas representaciones GNS $\pi_\omega(A)$ son (unitariamente) isomorfos a $B(\mathbb C^{2s+1})$ , toda el álgebra de operadores lineales (acotados) sobre $\mathbb C^{2s+1}$ , y, allí, el vector cíclico $\Psi_\omega$ es cualquier vector unitario de $\mathbb C^{2s+1}$ y $\pi_\omega(S_k)$ son las matrices autoadjuntas estándar que representan los componentes de espín. En particular, puede arreglar $\omega$ tal que $\Psi_\omega$ coincide con $|s_z=1/2\rangle$ , pero cualquier otra elección de un vector unitario de $\mathbb C^{2s+1}$ también es posible.

Las superposiciones coherentes de estados se pueden construir como de costumbre usando estados puros en el folium de un estado puro fijo.

Está claro que el formalismo algebraico es bastante inútil aquí...

Sistema de espín 1/2 en el enfoque algebraico de la mecánica cuántica

Oro

David Bar Moshé

Oro

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Valter Moretti

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