Energía potencial de una longitud infinitesimal de varilla elástica

Question

Energía potencial de una longitud infinitesimal de varilla elástica

Física
tensión-deformación
energía potencial
mecánica de Medios Continuos
formalismo lagrangiano
deberes-y-ejercicios

julián

Estoy teniendo un momento vergonzosamente difícil con la derivación de la energía potencial de un elemento infinitesimal de una barra elástica de área $A$ . La imagen que se muestra a continuación es un elemento de la barra que se ha extendido por $du$ por la fuerza $F$ .

ingrese la descripción de la imagen aquí

He intentado esta derivación varias veces y todavía tengo que obtener el factor de $\frac{1}{2}$ en

$\begin{matrix} (1) & d tu = \frac{1}{2} A Y (\frac{d tu}{d X})^{2} d X, \end{matrix}$ $dU=\frac{1}{2}AY\big(\frac{du}{dx}\big)^2dx,\tag{1}$

que se da en mis notas de clase. Aquí está mi mejor intento hasta ahora: a partir de la relación tensión-deformación, $\sigma=Y\epsilon$ , dónde $Y$ es el módulo de Young obtenemos:

\begin{matrix} (2) & \frac{F}{A} = Y \frac{d tu}{d X} . \end{matrix}

$\frac{F}{A}=Y\frac{du}{dx}.\tag{2}$

Hice una pregunta similar hace unos días y, según esa respuesta, supuse que el trabajo realizado para extender el elemento de varilla desde la longitud $dx$ a $du+dx$ es

\begin{matrix} (3) & d W = F [(d tu + d X) - d X] \end{matrix}

$dW=F\big[ (du+dx)-dx\big]\tag{3}$

\begin{matrix} (4) & = Y A \frac{d tu}{d X} d tu . \end{matrix}

$=YA\frac{du}{dx}du.\tag{4}$

Y puedo hacer que se parezca más a la respuesta dada en mis notas de clase si divido y multiplico por $dx$ :

\begin{matrix} (5) & d W = Y A (\frac{d tu}{d X})^{2} d X . \end{matrix}

$dW=YA\big(\frac{du}{dx}\big)^2dx.\tag{5}$

Y estoy asumiendo que $dW=dU$ aquí ( $F=-\frac{dU}{du}$ pero olvídate del signo negativo)

He intentado otros enfoques, pero tienen aún menos sentido para mí. Una fórmula que creo que será útil es la deflexión en la sección x de una barra:

\begin{matrix} (6) & d (X) = \frac{F}{A Y} X, \end{matrix}

$\delta(x)=\frac{F}{AY}x ,\tag{6}$

y creo que entrará en juego una integral, pero ya no estoy seguro de qué estoy integrando (estoy tratando con un elemento infinitesimal de la barra). Entonces, ¿cómo uso el trabajo infinitesimal para encontrar el cambio infinitesimal en la energía potencial aquí para obtener ese factor de $\frac{1}{2}$ (suponiendo que de hecho pertenezca a $dU$ )?

Respuestas (3)

Energía potencial de una longitud infinitesimal de varilla elástica

qmecanico · Answer 1

OP está reflexionando por qué el factor $\color{Red}{\frac{1}{2}}$ debe estar en la ec. (1). OP parece consciente de que está relacionado con el factor $\color{Red}{\frac{1}{2}}$ en la energía potencial elástica

\begin{matrix} (A) & Δ tu = \frac{1}{2} k (Δ tu)^{2} \end{matrix}

$\Delta U ~=~\color{Red}{\frac{1}{2}}k(\Delta u)^2 \tag{A}$ de un resorte , pero precisamente ¿cómo?

Respuesta:

El $\Delta$ en el lado izquierdo de la ec. (A) tiene que ser entendido correctamente. Imagina que antes del experimento hemos dibujado un $x$ -eje en la cuerda sin estirar. (Por lo tanto, cuando la cuerda se estira, el $x$ -las etiquetas se deforman. En dinámica de fluidos diríamos que hemos adaptado la imagen lagrangiana (en oposición a la euleriana) . $\Delta x$ referirse a un determinado intervalo de la cadena. Entonces $\Delta U$ en la ec. (A) es la energía potencial total en esa parte de la cuerda, por lo tanto, la mitad.
Para evitar paradojas con la división de cantidades infinitesimales, asumimos que $\Delta x$ es pequeño, pero no infinitesimalmente pequeño. (Por esta razón, no usamos las notaciones $\delta x$ o $dx$ .)
A continuación, necesitamos relacionar la constante de resorte microscópica $k$ al módulo de Young macroscópico $Y$ . Por comparación de la fórmula

$\begin{matrix} (2) & \frac{| F |}{A} = Y \frac{| Δ tu |}{Δ X}, \end{matrix}$ $\frac{|F|}{A}~=~Y\frac{|\Delta u|}{\Delta x},\tag{2}$ y la ley de Hooke $\begin{matrix} (B) & | F | = k | Δ tu |, \end{matrix}$ $|F| ~=~ k|\Delta u|,\tag{B}$ vemos que debemos identificar

\begin{matrix} (C) & k \overset{(2) + (B)}{=} \frac{Y A}{Δ X} . \end{matrix}

$k~\stackrel{(2)+(B)}{=}~ \frac{YA}{\Delta x} .\tag{C}$

Finalmente, combine las ecs. (A) y (C) para lograr la fórmula buscada por OP

$\begin{matrix} (1) & Densidad de energía potencial elástica = \frac{1}{A} \frac{Δ tu}{Δ X} \overset{(A) + (C)}{=} \frac{1}{2} Y {(\frac{Δ tu}{Δ X})}^{2} . \end{matrix}$ $\text{Elastic potential energy density}~=~ \frac{1}{A}\frac{\Delta U}{\Delta x} ~\stackrel{(A)+(C)}{=}~\color{Red}{\frac{1}{2}} Y \left(\frac{\Delta u}{\Delta x} \right)^2.\tag{1}$

Para más detalles, véase Wikipedia y Refs. 1-2.

Referencias:

H. Goldstein, Mecánica Clásica; 2ª edición; Sección 12.1.
H. Goldstein, Mecánica Clásica; 3ra edición; Sección 13.1.

julián · Answer 2

Recibí algo de ayuda, lo publicaré para las pocas personas que alguna vez se encontraron con esto (corríjame si abusé de la notación):

d W = - d tu = - \int_{0}^{d tu} F d (d tu) = - \int_{0}^{d tu} A Y \frac{d tu}{d X} d (d tu)

$dW=-dU=-\int_0^{du}Fd(du)=-\int_0^{du}AY\frac{du}{dx}d(du)$

d tu = \int_{0}^{y} A Y \frac{y}{d X} d y

$dU= \int_0^yAY\frac{y}{dx}dy$

= \frac{1}{2} A Y \frac{y^{2}}{d X}

$=\frac{1}{2}AY\frac{y^2}{dx}$

= \frac{1}{2} A Y \frac{d {tu}^{2}}{d X}

$=\frac{1}{2}AY\frac{du^2}{dx}$

= \frac{1}{2} A Y (\frac{d tu}{d X})^{2} d X

$=\frac{1}{2}AY(\frac{du}{dx})^2dx$

Juan Rennie · Answer 3

La fuerza es proporcional a la extensión:

F = k X

$F = kx$

donde subsumimos todas las diversas constantes como el módulo de Young y el área en la constante $k$ . Sabemos $dW = Fdx$ , entonces:

d W = k X d X

$dW = k x dx$

e integrando esto da:

W = \frac{1}{2} k X^{2} + C

$W = \tfrac{1}{2}kx^2 + C$

Si definimos que el trabajo es cero cuando la extensión es cero, la constante $C$ es cero, y obtenemos la relación entre trabajo y extensión completa con el factor de $1/2$ .

La energía potencial es igual al trabajo realizado. Dado que la energía se conserva, si realiza un trabajo en el sistema, esa energía debe convertirse en energía potencial. Entonces $dU$ y $dW$ son efectivamente los mismos.
¿Estás diciendo que no hay factor de $\frac{1}{2}$ delante de $dU$ en la situación que describí? (No puedo reconciliar los dos de otra manera)
Supongo que mi pregunta original fue engañosa hacia el final.

Energía potencial de una longitud infinitesimal de varilla elástica

julián

Respuestas (3)

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