La condición de "energía potencial estacionaria" para el equilibrio estático en sistemas mecánicos

Su pregunta en realidad es una de las preguntas más importantes en mecánica analítica. Esto se debe a que, cuando escribe explícitamente las ecuaciones de Eulero-Lagrange para cualquier sistema restringido con$n$grados de libertad y Lagrangiano de la forma:

$$L(t, {\bf q},\dot{\bf q}) = T(t, {\bf q},\dot{\bf q}) - U(t, {\bf q},\dot{\bf q})$$

dónde$T$es cuadrático en$\dot{\bf q}$y$U$es a lo sumo lineal en$\dot{\bf q}$, tienes un conjunto de ecuaciones de la forma:

$$\sum_{j=1}^n A(t, {\bf q})_{ij} \frac{d^2 q^j}{dt^2} = G_i\left(t, {\bf q},\frac{d q^j}{dt}\right)\quad i= 1,2,\ldots, n\:.\qquad (1)$$

Como se sabe de la teoría general de ecuaciones diferenciales, si el sistema de ecuaciones diferenciales se puede reescribir como:

$$\frac{d^2 q^i}{dt^2} = \sum_{j=1}^n A^{-1}(t, {\bf q})_{ij} G_j\left(t, {\bf q},\frac{d q^j}{dt}\right)\quad i= 1,2,\ldots, n \qquad(2)\:.$$

que está en forma normal (solo la derivada de mayor orden aparece en el lado izquierdo), entonces el sistema admite una solución en una vecindad de cualquier fijo$t_0$y está determinada únicamente por las condiciones iniciales

$$({\bf q}(t_0),\dot{\bf q}(t_0)) = ({\bf q}_0,\dot{\bf q}_0)\:.$$ En realidad, es cierto cuando el lado derecho de (2) es suficientemente regular: $C^1$conjuntamente en todas las variables está bien (más débilmente, la continuidad y la condición de Lipschitz local de validez en $({\bf q}_0,\dot{\bf q}_0)$en realidad también sería suficiente). Para pasar de (1) a (2), es necesario que $$\det A(t, {\bf q}) \neq 0\quad \mbox{everywhere in $(t, {\bf q})$.}$$

Demostremos que, para un sistema físico de puntos materiales restringidos, esta condición siempre se verifica bajo hipótesis adecuadas sobre las restricciones.

Suponga que el sistema está hecho de$N$, con$3N > n$, puntos materiales con masas$m_k>0$y posiciones${\bf r}_k$en un sistema de referencia dado. En este caso las restricciones son$c=3N-n$requisitos del formulario:

$$f_l(t, {\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_N)=0\quad l=1,2,\ldots, c \qquad (3)\:.$$

También se supone que las funciones$f_l$son suficientemente regulares (para nuestro cálculo$C^2$es suficiente) y que las restricciones son funcionalmente independientes . Significa que, exactamente en el conjunto de puntos$(t, {\bf q})$donde (3) se cumple, también se debe cumplir que la matriz jacobiana de elementos (la 3N$x_k$son todos los componentes cartesianos de todos${\bf r}_i$etiquetados en cualquier orden, ya que no es relevante aquí)

$$\frac{\partial f_l}{\partial x_k}$$

tiene$c$Filas linealmente independientes (o columnas equivalentes). Estos requisitos aseguran que el conjunto de posiciones permitidas es un$n=3N-c$múltiple para cada momento$t$y que, localmente, hay$n=3N-c$coordenadas libres,$q^1,\ldots, q^2$, sobre esa variedad y en una vecindad de cualquier tiempo fijo$t$.

Vale la pena señalar que estos$n$las coordenadas siempre se pueden elegir entre las$3N$coordenadas$x_i$, incluso si esta elección no es necesaria.

Como consecuencia de la existencia de$n$coordenadas locales en la variedad de configuraciones admisibles, las relaciones locales se cumplen:${\bf r}_k={\bf r}_k(t,q^1,\ldots, q^n)$. Como probablemente sepa, y el cálculo es sencillo, la matriz$A$toma esta forma:

$$A_{ij} = \sum_{s=1}^N m_s \frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^i} \cdot \frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^j}\:.\qquad (4)$$

Ahora quiero mostrar que$\det A \neq 0$cuando todas las hipótesis dichas son verdaderas. Es obvio que es suficiente probar este hecho solo en un sistema de coordenadas local$q^1,\ldots, q^n$. Efectivamente, cambiando las coordenadas locales y pasando a las coordenadas$Q^1,\ldots, Q^n$, obtenemos una nueva matriz$A'$relacionado con el anterior por:

$$A'_{rs} = \sum_{i,j=1}^n\frac{\partial q^i}{\partial Q^r}\frac{\partial q^j}{\partial Q^s} A_{ij}\:.$$

Dado que la matriz jacobiana de elementos$\frac{\partial q^i}{\partial Q^r}$debe ser no singular,$\det A \neq 0$es equivalente a$\det A' \neq 0$.

Es conveniente elegir las coordenadas libres$q^1,\ldots, q^n$como$n$coordenadas$x_k$entre los componentes originales de los vectores${\bf r}_j$como se dijo arriba. En aras de la simplicidad podemos suponer que$q^1=x_1, q^2= x_2,\ldots , q^n = x_n$.

Con esta elección de las coordenadas, suponga que$\det A=0$. En consecuencia, hay un vector$v \in R^n -\{0\}$tal que$Av=0$y consecuentemente,$v^t A v =0$. Explotando (4):

$$0=\sum_{ij}v_iA_{ij} v_j = \sum_{s=1}^N m_s \sum_{i,j}v_i\frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^i} \cdot v_j\frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^j} = \sum_{s=1}^N m_s \left| \sum_{i}v_i\frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^i}\right|^2\:.$$

Desde$m_s>0$, a su vez implica:

$$\sum_{i}v_i\frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^i} =0 \quad \mbox{for $r=1,2,\ldots, N$}\:.$$ Pasando a los componentes del ${\bf r}_s$:

$$\sum_{i}v_i\frac{\partial x_l}{\partial q^i} =0 \quad \mbox{for $l=1,2,\ldots, 3N$}\:.\quad (5)$$

Por último, recuerda que$x_l=q^l$, para$l=1,2, \ldots, n$. Elegir$l=1$, los requisitos (5) producen:

$$v_1 =0$$

Elegir$l=2$, los requisitos (5) producen:

$$v_2 =0$$

etcétera. Finalmente obtenemos$v=0$. Esto no es posible ya que$v \in R^n -\{0\}$. La existencia de tal$v$fue consecuencia de$\det A=0$eso, en consecuencia, es insostenible.

Darse cuenta de$A$es un operador lineal en$\mathbb R^n$. Suponer que$A$es singular, es decir$\det A= 0$, entonces el núcleo de$A$no es trivial. En otras palabras, existe algo distinto de cero $v\in\mathbb R^n$para cual$Av=0$. De ello se deduce que la energía cinética se desvanece para este distinto de cero$v$.

No hay nada "malo" en esto matemáticamente hablando, pero es físicamente patológico porque la energía cinética representa energía debida a la magnitud del movimiento del objeto, y por lo tanto esperamos que cualquier estado del objeto para el cual$\dot q_i\neq 0$para algunos$i$se le debe asignar una energía cinética distinta de cero.