Productos de variables de proceso estocástico gaussiano

En el clásico texto de física experimental " Teoría estadística de la detección de señales" de Carl. W. Helstrom , Capítulo II, sección 4 se refiere a los procesos estocásticos gaussianos. Este proceso se observa a veces t 1 , t 2 , t 3 , . . . t norte para obtener norte variables aleatorias X 1 , X 2 , X 3 , . . . X norte , entonces la densidad de probabilidad para el norte variable es de la forma:

pag norte ( X 1 , t 1 ; X 2 , t 2 ; . . . ; X norte , t norte ) = METRO norte Exp ⁡ ( − 0.5 Σ j Σ k m j k X j X k ) .

dónde m j k es una matriz definida positiva y METRO norte es una constante de normalización para dar probabilidad unitaria cuando se integra sobre todos los valores posibles:
METRO norte = ( 2 π ) − norte / 2 | det m | 0.5 ,
dónde m es el determinante de la matriz m j k . Suponemos que los valores esperados son todos cero: mi ( X k ) = 0 .

Señala que el valor esperado del producto de cualquier número impar de X j es cero (que parece seguirse de la simetría), y da una fórmula para el valor esperado de un producto de números pares de variables. Definimos ϕ j k como:

ϕ j k = mi ( X j X k ) .
Luego señala que:
mi ( X 1 X 2 X 3 X 4 ) = ϕ 12 ϕ 34 + ϕ 13 ϕ 24 + ϕ 14 ϕ 23 .

¿Hay una prueba sencilla? ¿Y hay una prueba simple que se relacione con los métodos de la mecánica cuántica/teoría cuántica de campos?

Estoy preguntando esto porque los procesos estocásticos gaussianos son física completamente clásica, pero los métodos utilizados aquí de alguna manera me parecen una reminiscencia de los diagramas de Feynman.

Respuestas (2)

Sí, es simple de probar usando funciones generadoras de momentos. Y sí, las matemáticas están muy relacionadas con las de la teoría cuántica de campos.

tu calculas GRAMO ( j ) =< mi X pag ( ∑ j i X i ) > donde cada uno j i es una "fuente" para el correspondiente X i . Esto se muestra fácilmente como algo así como GRAMO ( j ) = mi X pag ( ∑ j i m i j − 1 j j ) Para obtener los valores esperados, entonces toma < X i X j . . . >= ∂ ∂ j i ∂ ∂ j j . . . GRAMO ( j ) | j = 0 . El resto sigue simplemente. En particular, puede ver cómo las variables deben agruparse en pares para obtener resultados distintos de cero cuando establece j = 0 después de tomar derivados. Básicamente, tiene una expansión de Feynman de una teoría de campo de dimensión 0 que no interactúa.

Esto está muy bien cubierto en "Teoría cuántica de campos en pocas palabras" de Zee, donde es una aplicación simple de lo que él llama la "identidad central de la teoría cuántica de campos".

Esto podría ser un poco tarde, pero solo quería tocar un poco más algunas cosas.

Para el caso de Gauss, hay un teorema muy bueno para reducir las derivadas de alto orden a un problema de combinatoria (esto se puede hacer relacionando los momentos de las variables aleatorias y sus correspondientes cumulantes): el teorema de Wick. También hay una generalización de este teorema conocida como el teorema de Isserlis. Estas técnicas surgen en QFT perturbativo.

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