Versión cuántica del tablero de Galton

Es posible que le guste este artículo de 110 páginas escrito por Alex Arkhipov y por mí , que trata sobre un análogo bosónico cuántico del tablero de Galton (incluso usamos el mismo gráfico que usó, ¡vea la Sección 1.1!). En particular, brindamos evidencia sólida de que un tablero de este tipo (con una configuración arbitraria de "clavijas" y con múltiples puntos de entrada para las "bolas") es exponencialmente difícil incluso de simular usando una computadora clásica. Esto sugiere que tal tablero cuántico de Galton (que ahora se llama "BosonSampler") podría usarse como una computadora cuántica rudimentaria de prueba de principio. Y de hecho, en el último año se realizaron los primeros experimentos BosonSampling en óptica lineal (ver aquí ), aunque hasta ahora solo con 3 fotones.

Para que nuestro argumento a favor de la dureza computacional funcione, necesitábamos dos suposiciones cruciales:

(1) Las "bolas" tienen que ser partículas indistinguibles . Si son distinguibles, entonces la distribución de cualquier bola individual aún podría exhibir franjas de interferencia. Pero una vez que conoces la distribución de probabilidad de una pelota, la distribución de n pelotas solo se obtendrá muestreando esa distribución n veces de forma independiente, produciendo así un comportamiento "convencional, clásico" de la Ley de los Grandes Números. Por el contrario, las partículas cuánticas idénticas pueden volverse "correlacionadas" incluso si nunca han interactuado explícitamente, como se ve, por ejemplo, en la caída de Hong-Ou-Mandel .

(2) Las "bolas" tienen que ser bosones . En ese caso, sus amplitudes de transición están dadas por nxn matrices permanentes, cuyo cálculo es un famoso problema difícil en informática. Por el contrario, si las bolas son fermiones, entonces sus amplitudes de transición están dadas por nxn determinantes , que son fáciles de calcular clásicamente.

Por supuesto, también hay una forma "más restringida" de interpretar su pregunta, que podría estar más cerca de lo que realmente estaba preguntando. Es decir, en lugar de un tablero "arbitrario" tipo Galton, podríamos considerar la geometría específica de la figura: digamos, una red de 50/50 interferómetros dispuestos en un patrón de diamante en el plano, con una sola fuente de partículas en la parte superior. Y luego podríamos calcular (o, si somos más perezosos, simular numéricamente...) la distribución de probabilidad particular sobre los resultados de n partículas a los que conduce esa configuración, bajo dos suposiciones diferentes:

(1) Que las partículas sean distinguibles. (En este caso, por supuesto, el problema se reduce a calcular la distribución de una sola partícula).

(2) Que las partículas son bosones indistinguibles.

(Tenga en cuenta que un tercer caso, que las partículas son fermiones indistinguibles, nunca surge, ya que según el principio de exclusión de Pauli, n fermiones idénticos ni siquiera podrían "encajar" simultáneamente a través de la fuente única en la parte superior).

Si tengo algo de tiempo más tarde, podría resolver las respuestas y publicarlas aquí, pero mientras tanto, cualquier otra persona debería sentirse libre de hacerlo primero.

Anexo: OK, entonces consideremos el caso de una sola partícula cuántica que pasa a través de una red "en forma de diamante" de interferómetros 50/50. En ese caso, la distribución de probabilidad después de n pasos estará determinada, no por la n ^-ésima fila del triángulo de Pascal (como en el caso clásico), sino por la n ^-ésima fila de lo que podríamos llamar el "triángulo interferométrico de Pascal". Este último se define como sigue: sea A(i,j) la j ^-ésima entrada en la fila i. Después:

A(0,0)=1

A(0,j)=0 para todo j≠0

Para i+j positivo e impar: A(i,j)=A(i-1,j)+A(i-1,j+1)

Para i+j positivo y par: A(i,j)=A(i-1,j-1)-A(i-1,j)

Estoy casi seguro de que el resultado se aproximará asintóticamente al comportamiento estándar para el "recorrido aleatorio cuántico en la línea": consulte aquí o aquí para obtener una buena descripción general. En particular, la distribución no se parecerá en nada a la gaussiana: en su lugar, debería ser casi uniforme, excepto con un montón de picos oscilantes cerca de los dos bordes , con el tamaño de los picos amortiguado a medida que te acercas al centro. (Consulte los documentos vinculados para ver imágenes de ejemplo).

Una pequeña advertencia es que los análisis habituales de caminatas aleatorias cuánticas asumen que hay una "moneda" (es decir, un grado de libertad interno de giro 1/2), mientras que he usado una disposición escalonada de interferómetros para eliminar la necesidad de la moneda. No creo que eso afecte el comportamiento cualitativo de la caminata, pero no tengo una prueba.