¿Por qué no se puede romper el Principio de Incertidumbre para mediciones individuales si es una ley estadística?

Si bien las incertidumbres pueden interpretarse como declaraciones sobre conjuntos de estados preparados de manera idéntica, no es así como se definen. tomas un estado$\psi$y luego la incertidumbre$\sigma_\psi(A) = \sqrt{\langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2}$para cualquier observable$A$es simplemente una propiedad de ese estado.

Un estado que tiene una cantidad de movimiento definida de cero tendría que ser un estado propio de cantidad de movimiento. Usted puede mostrar directamente que$\sigma_\psi(A) = 0$para un estado propio de$A$. Así que cualquier estado que tenga una bien definida$\sigma_\psi(x)$no puede ser un estado propio del impulso, ya que el principio de incertidumbre implica$\sigma_\psi(p)\neq 0$. Tenga en cuenta que este argumento muestra que, en general, no puede tener "estados" propios de posición o impulso si ambos$\sigma_\psi(x)$y$\sigma_\psi(p)$existir.

No se supone que "no puede tener un impulso cero" significa que es imposible medir un impulso cero, solo que no es un estado propio donde el único resultado posible para el impulso es cero (o, de hecho, cualquier otro valor del impulso).

En una frase un tanto descuidada, "No puede tener un impulso cero" también podría referirse al valor esperado de la magnitud del impulso: si$\sigma_\psi(p)\neq 0$, entonces desde$\sigma_\psi(p)\leq \sqrt{\langle p^2\rangle}$tenemos eso$\langle p^2\rangle$también es distinto de cero.

(Esta primera sección se refiere a v1 de la publicación)

Ahora, matemáticamente lo que esto significa es que si preparamos una gran cantidad de estados$|Ψ⟩$y realice mediciones de la posición y el momento en ellos (sin hacer> 1 medición en ningún sistema preparado) ...

Primer error. Por ejemplo, medir$X$en un estado le da un nuevo estado, por lo que el resultado$\Delta p$que obtenga de las mediciones de impulso posteriores no estará relacionado (por el HUP) con el anterior$\Delta x$obtuviste.

El HUP es una declaración sobre las medidas de$X$o$P$ por separado en un gran número de estados similares. Entonces, tome una gran cantidad de estados similares y mida$X$para que cada uno consiga$\Delta x$. Tome otro número mayor de estados similares y mida su impulso para obtener$\Delta p$. El HUP dice que no importa en qué estado comenzó, siempre encontrará$\Delta x\cdot\Delta p$no ser más pequeño que$\hbar/2$.

...el valor RMS de desviación de la media para ambos mostrará una relación inversa entre sí.

Segundo error. Si tiene varios estados similares y realiza los pasos anteriores, obtendrá un solo $\Delta x$y un solo $\Delta p$. No se puede encontrar una relación inversa.

Sin embargo, digamos que debemos tomar un estado diferente y hacer el mismo procedimiento, y digamos$\Delta x$ahora es más pequeño que antes. Todavía no podemos decir nada sobre el nuevo$\Delta p$.$\Delta p$podría aumentar o disminuir; todo lo que sabríamos es que$\Delta x\cdot\Delta p$no puede ser menor que$\hbar/2$. Sin embargo, si el anterior$\Delta x\cdot\Delta p$era exactamente igual a$\hbar/2$, entonces podríamos garantizar una mayor$\Delta p$porque el HUP debe aguantar.

Entonces, ¿cómo conduce esto a una restricción en los valores de posición y momento medidos individualmente?

no lo hace El HUP no dice nada sobre mediciones individuales.

¿Cómo podemos afirmar que la partícula está restringida a esta caja, por lo que no puede tener un impulso cero, etc.?

Seguro que puedes hacer una$0$medición de momento. Eso no viola el HUP. El HUP sería violado si$\Delta p=0$, es decir, si cada medida de impulso de nuestra gran colección de estados similares nos diera el mismo valor cada vez.

Para abordar el título entonces:

¿Por qué no se puede romper el Principio de Incertidumbre para mediciones individuales si es una ley estadística?

Como se indicó anteriormente, el HUP no dice nada sobre las mediciones individuales. Simplemente pone un límite al producto de los "spreads" de dos tipos de medidas.

Se supone que todas las medidas en QM son medidas de conjunto, es decir, se realizan en muchas partículas/sistemas "preparados" de la misma manera. Una medición perturba el sistema, por lo que nunca se puede realizar dos veces en el mismo sistema. La medición de dos operadores que no viajan al trabajo en el mismo sistema requeriría dos mediciones, por lo que no se puede hacer en un solo sistema. Pero las mediciones consecutivas pueden, de hecho, violar el principio de incertidumbre, antes de que recolectemos suficientes datos para una inferencia estadística confiable.

Actualización
Es necesario distinguir entre la media matemática y la muestra. Así, matemáticamente definimos la media y la varianza de una cantidad como

$$\langle A\rangle = \int dx \psi^*(x)\hat{A}\psi(x),\\ \langle (\Delta A)^2\rangle = \int dx \psi^*(x)(\hat{A}-\langle A\rangle)^2\psi(x)$$ La relación de incertidumbre aplicada a tales cantidades matemáticas es una declaración matemática rigurosa, que no permite ambigüedad.

Sin embargo, en el experimento tendremos medidas.$\mathbf{A}=(A_1, A_2, ..., A_N)$y calcular promedios de muestra

$$\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nx_i,\\ var(x) = \overline{(x -\overline{x})^2} = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^2$$ Estos promedios son en sí mismos cantidades aleatorias, que se aproximan a los promedios matemáticos solo en el límite$N\rightarrow\infty$(Tenga en cuenta el factor$1/(N-1)$en la definición de la invariancia - si fuera$1/N$, la estimación estaría sesgada , es decir, nunca se acercaría al valor teórico). Así, para finitos$N$es bastante posible tener una situación en la que las varianzas de la muestra no satisfagan la relación de incertidumbre.

En resumen: el significado físico de la relación de incertidumbre es estadístico. Más específicamente:

• es válido sólo para un conjunto de medidas
• no se puede usar para una sola medición (además, dos cantidades que no conmutan no se pueden medir simultáneamente)

La mecánica cuántica no se puede reducir al HUP. Hay algunos axiomas básicos de QM y el HUP se deriva de ellos. Los axiomas relevantes aquí son:

1. Los estados cuánticos son vectores.$\psi$en un espacio de Hilbert$\mathbf{H}$.
2. Los observables son operadores.$A: \mathbf{H} \rightarrow\mathbf{H}$
3. Los resultados de la medición solo pueden ser los valores propios del operador correspondiente.
4. El resultado de la medición es aleatorio (eso significa que no se puede conocer en general). La probabilidad de medir el valor.$a$viene dado por el cuadrado absoluto del overlab$\langle \phi_a |\psi \rangle$del estado cuántico y el vector propio de$A$, correspondiente al valor propio$a$

Por lo tanto, el valor de un observable para un estado dado solo se conoce si el estado cuántico es un estado propio de ese observable (por ejemplo, inmediatamente después de una medición). De ello se deduce que podemos conocer el valor de dos observables simultáneamente solo si el estado es un estado propio de ambos observables a la vez. Esto solo es posible si los dos observables conmutan.

¿Cómo podemos afirmar que la partícula está restringida a esta caja, por lo que no puede tener un impulso cero, etc.?

¿Has visto esta afirmación hecha? En el mejor de los casos, es una forma abreviada de otra cosa y, en el peor de los casos, simplemente incorrecto. Primero, se debe hablar del valor esperado o del valor medido de una partícula, en lugar de hablar de que solo tiene un valor. El valor esperado del momento de una partícula confinada en una caja puede ser absolutamente cero; si está confinado a un cuadro y el cuadro no se mueve, entonces el valor esperado general debe ser cero (hay estados en los que el valor esperado varía con el tiempo, pero el promedio sigue siendo cero).

La probabilidad de que el valor medido de su cantidad de movimiento sea cero es cero (es decir,$p(\text{momentum}=0)=0$), pero eso es solo porque la probabilidad de que sea un valor particular es cero. La densidad de probabilidad de su impulso será, para estados normales, máxima en cero.

Otra afirmación correcta sería que el impulso no se puede restringir a cero.