¿Qué tiene de especial la ruptura espontánea de la simetría? (ejemplo de inversión de tiempo)

Question

¿Qué tiene de especial la ruptura espontánea de la simetría? (ejemplo de inversión de tiempo)

Física
ferromagnetismo
materia Condensada
mecánica cuántica
ruptura de simetría
tiempo-inversión-simetría

muertos vivientes

Tengo serios problemas para entender el concepto de ruptura de simetría espontánea (específicamente en materia condensada). Tomemos como ejemplo la inversión del tiempo en los sistemas magnéticos.

Se dice que el ferromagnetismo rompe espontáneamente la simetría de inversión del tiempo. Tal como lo entiendo, la simetría de inversión de tiempo se puede entender con un operador de inversión de tiempo $\mathcal{T}$ que invierte el signo de todo momento y giro, de modo que $\mathcal{T} S_{zi} =- S_{zi} \mathcal{T}$ .

Tomamos un hamiltoniano que puede generar ferromagnetismo como Ising

H_{0} = - j \sum_{< i, j >} S_{z i} S_{z j}

$H_0 = -J \sum_{<i,j>} S_{zi} \ S_{zj}$ y nota que

[T, H_{0}] = 0

$[\mathcal{T}, H_0] = 0$ porque hay dos operadores de espín. Así que no hay ruptura de simetría aquí.

Aparentemente, una ruptura de simetría espontánea se manifiesta en la asimetría del estado fundamental más que en la del hamiltoniano. Hay dos estados fundamentales para el hamiltoniano con todos los giros hacia arriba ${\left|\left. \uparrow \right>\right.}^{\otimes n}$ y uno con todos los giros hacia abajo ${\left|\left. \downarrow \right>\right.}^{\otimes n}$ . Desde $\mathcal{T} {\left|\left. \uparrow \right>\right.}^{\otimes n} = {\left|\left. \downarrow \right>\right.}^{\otimes n}$ , la inversión del tiempo te mantiene en el estado fundamental, por lo que aquí no se rompe la simetría.

Un punto que se hace a menudo es que pasar por debajo de la temperatura crítica rompe la simetría de inversión de tiempo porque encontrará que el sistema exhibe una magnetización que no se desvanece y, por lo tanto, se encuentra en un estado fundamental particular, no en una superposición de ambos. Pero este es solo el caso porque algún ruido en el ambiente (también podría ser una irregularidad en el sistema) hizo que el sistema eligiera una dirección particular. Podríamos simplemente agregar ese ruido al modelo diciendo

H = H_{0} + d H

$H= H_0 + \delta H$ con

[T, δ H] \neq 0

$[\mathcal{T}, \delta H] \neq 0$ . Entonces el hamiltoniano total no es simétrico.

¿Es esa la esencia de la llamada "ruptura de simetría espontánea"? Si es así, ¿qué tiene de especial?
¿No podríamos simplemente decir que por debajo de la temperatura crítica el sistema es muy susceptible (literalmente ya que las susceptibilidades son discontinuas) a pequeñas perturbaciones?
¿Existe una definición rigurosa de lo que es una ruptura de simetría espontánea?

Respuestas (2)

¿Qué tiene de especial la ruptura espontánea de la simetría? (ejemplo de inversión de tiempo)

ruben verresen · Answer 1

De hecho, una de las definiciones de ruptura espontánea de simetría es en términos de susceptibilidad:

Supongamos que agregamos una perturbación de ruptura de simetría $h \; \delta H$ a nuestro hamiltoniano (como tú), si
$\underset{h \to 0}{límite} \underset{norte \to \infty}{límite} ⟨ metro ⟩ \neq 0$ $\lim_{h \to 0} \lim_{N \to \infty} \langle m \rangle \neq 0$ entonces decimos que nuestro sistema tiene ruptura de simetría espontánea.

(Nota: $N$ es el número de giros en nuestro sistema. De hecho, a nivel matemático, las no analiticidades solo pueden surgir en el límite termodinámico).

Lo que es especial es que cualquier perturbación arbitrariamente pequeña servirá. Imagina que tienes un millón de giros. Si el estado está originalmente en un estado simétrico (es decir, aún no se ha roto la simetría), incluso si solo aplico un campo magnético arbitrariamente pequeño en un solo giro, todo el sistema elegirá esa orientación.

Usted sugiere que el hecho de que uno, en principio, necesite el entorno para 'tomar la decisión' no es realmente espontáneo. Es cierto que en ese sentido filosófico de la palabra, la dirección de la magnetización no es 'espontánea'. Pero, ¿qué puede llamarse espontáneo en el universo? Si balanceo perfectamente un huevo, entonces la dirección en la que finalmente rodará cuando pierda el equilibrio es espontánea (o no espontánea) exactamente en el mismo sentido. Y tenga en cuenta que una vez que el huevo ha rodado hacia abajo (y se ha detenido), las pequeñas perturbaciones en el aire que influyeron en su dirección original ya no son suficientes para cambiar su posición. Es decir: después del proceso 'espontáneo', el sistema ahora es estable.

Lo mismo sucede en el imán anterior: una vez que ha elegido una dirección de magnetización, cambiar el campo magnético aplicado en ese giro único que mencioné antes no cambiará la magnetización total. ¡Así que en ese sentido no es cierto que sea tan susceptible! Se necesita aplicar un campo magnético extenso (es decir, un campo que actúa sobre la mayoría de los espines) para cambiar la dirección de la magnetización.

Eso es lo divertido de estos sistemas:

Una perturbación arbitrariamente pequeña puede crear una magnetización, ¡pero no puede cambiarla !

En una nota más mecánica cuántica, si uno tiene un hamiltoniano cuyo estado fundamental debería mostrar una ruptura de simetría espontánea, entonces si considera que el estado fundamental está en una superposición simétrica (que siempre se puede hacer), entonces este estado tiene un entrelazamiento ridículamente largo . Estos se denominan estados de gato (en referencia al gato de Schrödinger). Esta es una consecuencia natural de lo anterior: una interacción con un solo giro tiene que influir en todos los giros a la vez, lo que solo es posible si cada uno de los giros se entrelaza con todos los demás giros. Un ejemplo es el estado $|\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \rangle + |\downarrow \downarrow \downarrow \cdots \rangle$ . (De hecho: una interacción con un solo giro colapsará este 'estado gato' a un estado de producto, y luego está claro que cualquier interacción posterior de un solo giro no puede cambiar el estado al otro estado de producto). De hecho, la forma en que se rompe la simetría las fases se clasifican en una dimensión espacial en términos de estas propiedades de entrelazamiento [Schuch et al., 2010] .

Gran respuesta gracias! Entonces, ¿es esta sensibilidad "unidireccional" a las perturbaciones equivalente al fenómeno llamado histéresis hy?
No precisamente. Una diferencia simple es, por ejemplo, que la histéresis es incluso relevante cuando se aplica un campo magnético global (es decir, extenso).
Otra pregunta, ¿sabe si hay alguna manera de probar que la definición que da es equivalente a la que proporciona GaragePhys a continuación?

GarajePhys · Answer 2

GarajePhys

Ya mencionaste la definición exacta de ruptura de simetría espontánea:

Ruptura espontánea de simetría para un sistema descrito por un hamiltoniano $H$ con estado fundamental $\left| g \right\rangle$ sucede donde hay una transformación de simetría de $H$ que no deja invariable el estado fundamental

[T, H] = 0 pero T | gramo ⟩ \neq 0.

$[T,H] = 0 \text{ but } T \left| g \right\rangle \neq 0.$ Al igual que un palo que está parado sobre su punta puede girar sobre sí mismo, pero eventualmente volverá a caer a un "estado fundamental" que ya no tiene esta simetría rotacional.

El ejemplo que está citando es una teoría estadística, por lo que las fluctuaciones que llevan al sistema a un estado de magnetización constante por debajo de la temperatura crítica ya están incorporadas desde el principio.

La ruptura espontánea de la simetría es un ingrediente clave en el modelo estándar de la física de partículas, se usa para explicar por qué las partículas que median la fuerza débil son masivas (bosones W y Z, esto es notable porque no se puede lograr simplemente poniendo un término de masa en el lagrangiano!).

Pero también funciona al revés, ya que explica por qué a veces hay modos sin masa en un sistema (ver bosones de Goldstone).

muertos vivientes

¡Gracias por tu respuesta! No estoy seguro si es un error tipográfico, ¿quieres decir

T \left g \right \rangle \neq  \left g \right \rangle

$T \left g \right \rangle \neq \left g \right \rangle$ ¿en cambio? Porque no puedo ver ninguna razón por la que podría dar 0. Tomemos el caso de un hamiltoniano simétrico bajo paridad como un oscilador armónico. Luego, aplicar el operador de paridad en el estado fundamental devuelve el estado fundamental no 0.

GarajePhys

No, eso no es un error tipográfico, lo que quieres decir con el símbolo

T

$T$ es el generador de la simetría, que es una versión infinitesimal de la misma. Por ejemplo, si tiene rotaciones en el espacio 3D que actúan sobre el vector:

| x ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x \end{matrix})

$\left| x \right\rangle = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\x\end{pmatrix}$ Consideremos la transformación:

GarajePhys

| X ⟩ \to R | X ⟩ con R = (\begin{matrix} C o s (α) & s i norte (α) & 0 \\ - s i norte (α) & C o s (α) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \approx α \underset{= T}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})}} + (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\left| x \right\rangle\rightarrow R \left| x \right\rangle \text{ with } R = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) & 0 \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \approx \alpha \underbrace{\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 &0 & 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}}_{ = T} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$ Aquí

| x ⟩

$\left| x \right\rangle$ es claramente invariante bajo

R

$R$ , que se expresa por

T | x ⟩ = 0

$T \left| x \right\rangle= 0$ Aquí encontrará más información al respecto: \url{ en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_in_quantum_mechanics }.

muertos vivientes

¡Entiendo lo que dices! Además, ¿sabe dónde puedo encontrar una explicación completa de qué son los bosones de Goldstone (considerando que soy de materia condensada y no estoy familiarizado con el formalismo de la teoría de campos)?

GarajePhys

Creo que la discusión en Peskin debería ser bastante accesible, demuestra el teorema de Goldstones en una página en el capítulo 11.1 página 351.

GarajePhys

El título completo es 'Una introducción a la teoría cuántica de campos', es la referencia estándar para QFT.

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