Simetría de inversión de tiempo

Podemos inferir algunas propiedades topológicas generales del sistema para casos especiales. Esto se ha utilizado en el reciente "tema de tendencia" de la física de la materia condensada, aisladores topológicos. Para simplificar, me limitaré a continuación a$2\text{D}$aunque uno puede generalizar todo para$3\text{D}$.

El operador de inversión temporal es un operador antiunitario que admite la siguiente representación:

$\hat{\Theta} = \exp \left(i\pi\hat{S}_y/\hbar \right)K$

dónde$K$significa conjugación compleja y$\hat{S}_y$es el operador de espín a lo largo de la$\hat{y}$eje. Considere un hamiltoniano fermiónico para espín$s=1/2$electrones Entonces

$\hat{\Theta} =-\hat{1}$[*]

En este caso, se aplica el teorema de Kramers :

Dejar$\hat{\mathcal{H}}$ser un$T$-Hamiltoniano invariante (fermiónico). Entonces, todos los estados propios del hamiltoniano son doblemente degenerados.

La prueba de esta afirmación es simple una vez que hayas entendido [*]. Como consecuencia,$T$-Los sistemas fermiónicos invariantes deben tener dos estados degenerados topológicamente protegidos. El$T$-El hamiltoniano invariante satisface

$\hat{\Theta}\hat{\mathcal{H}} (\mathbf{k}) =\hat{\mathcal{H}} (-\mathbf{k}) \hat{\Theta}$

y puede ser clasificado por un nuevo índice topológico, llamado el$\mathbb{Z}_2$índice. El$\mathbb{Z}_2$índice,$\nu$, es un número entero dado por el número de estados de borde módulo$2$y distingue la$\nu = 0$o fase aislante de la$\nu = 1$, el aislador topológico. Así, las clases de equivalencia de$T$-Los hamiltonianos invariantes para aisladores se pueden clasificar por su$n = 0$Thouless-Kohmoto-Nightingaleden Nijs invariante [es decir, su$C=0$, primer índice de Chern] y el índice adicional$\nu$. Esto da un$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$simetría para el$2\text{D}$estructuras de bandas.

Después de todo, ¿qué podemos inferir del hamiltoniano? Por ejemplo, que tenemos estados electrónicos invariantes de inversión de tiempo con una brecha de banda electrónica masiva que admite el transporte de carga y espín en estados de borde sin brecha. Esto es exactamente lo que obtenemos en la llamada fase Hall de espín cuántico .