¿Preguntas ingenuas sobre los modos de Goldstone y una posible relación de dualidad?

Debo decir que tiene 3 preguntas relacionadas, a saber, 1) ¿Hasta qué punto podemos confiar en las aproximaciones basadas en transformaciones HP y Jw, 2) La naturaleza del espectro de baja excitación y 3) La relación con los modos de Goldstone.

Veremos primero el método de Holstein-Primakoff. Los operadores de escalera giratoria para en un sitio$j$son dados por

$S^-_j = \sqrt{2S}b_j^\dagger\sqrt{1-\frac{n_j}{2S}}$

y su adjunto, donde$S$es el giro de tu modelo, en este caso tenemos$S=1/2$. Estás haciendo la aproximación.$S_j^-=\sqrt{2S}b_j^\dagger$, o en otras palabras, expandir la raíz cuadrada y descartar términos no lineales, lo que debería ser bueno siempre que$\langle n_j \rangle << S=1/2$. Spin one-half no es realmente el mejor caso para usar HP porque es el que tiene el mayor error en la aproximación lineal. No obstante sigamos. Para estudiar el espectro de baja energía introducimos excitación (llamadas magnones) con distribución térmica según las estadísticas de BE$\langle n_k\rangle =(e^{\beta\omega_k}-1)^{-1}$y ver la corrección a la magnetización$\Delta S(T)=S-\langle S_j\rangle$en cada sitio. Por invariancia traslacional tenemos$\langle n_j\rangle =\frac{1}{N}\sum_j \langle n_j\rangle$. Pasando a la representación de momento, como de costumbre, obtenemos

$\Delta S(T)=\int \frac{dk}{2\pi}\frac{1}{e^{\beta\omega_k}-1}$

Es fácil ver que la integral diverge en momentos bajos como$\Delta S \propto \int_\epsilon \frac{dk}{k^2}\propto\frac{1}{k}$. Este es solo un ejemplo del teorema de Mermin-Wagner que dice que en 1 y 2 dimensiones no hay una ruptura de simetría espontánea porque los correspondientes bosones de Goldstone sin masa tienen divergencias en el infrarrojo. Puedes comprobar que en 3D la corrección va como$\Delta S\propto T^{3/2}$. Veo que te interesa el límite de temperatura cero. Para las teorías de fermiones, el teorema de Luttinger-Ward da las condiciones para las cuales los resultados de temperatura finita se mantienen en el límite de temperatura cero. Para los bosones es algo más difícil porque tienes que lidiar con la condensación de bose. Para el caso simple del modelo de Heisenberg en 1D, el resultado clásico de Coleman puede extenderse sin muchos problemas, como él mismo señala, a saber, una prohibición de ruptura de simetría espontánea en 1D y, en consecuencia, ausencia de modos de Goldstone.

Entonces esto responde a la pregunta 3) sobre los modos de Goldstone (no existen) y muestra que aunque Holstein-Primakoff lo ve razonable da resultados difíciles de interpretar cuando se habla de excitaciones.

¿Qué pasa con la transformación JW? Funciona mucho en 1D. De hecho creo que es instructivo trabajar todos los términos. Hay una convención de señales en las transformadas, pero obtengo el hamiltoniano completo (en el espacio de red y sin tener en cuenta los términos que dependen solo de$n_j$e ignorando el límite porque me preocupa el$N\rightarrow \infty$límite.)

$H_f=\sum_j -J\frac{1}{2}(f_j^\dagger f_{j+1}+f_{j+1}^\dagger f_j) -Jn_{j+1}n_j$

con$J>0$. En el espacio de cantidad de movimiento, el primer término es el cinético que escribiste. El segundo es fácil de ver y corresponde a una interacción atractiva. Por lo tanto, tan pronto como coloque excitaciones, debe preocuparse por los fermiones que forman estados ligados.

De hecho, Bethe Ansatz puede resolver exactamente el modelo unidimensional de Heisenberg , y se puede demostrar que el espectro de baja energía está formado por bosones con huecos, que desde el punto de vista de JW son estados ligados. Si quieres entender lo finito$N$el modelo Bethe Ansatz es aún mejor, ya que puede construir las energías exactas y los estados propios correspondientes.

En resumen, HP no es realmente confiable en este caso, es mejor mirar a JW, pero en dimensiones bajas, básicamente, cada interacción es fuerte sin importar cuán débil sea el acoplamiento, por lo que vale la pena mirar más allá de los primeros términos en la teoría de la perturbación. Y no hay modo Goldstone, bosón o fermión, debido a la divergencia infrarroja.

Sin embargo, es bien sabido que en los sistemas unidimensionales no tenemos el teorema de la estadística de espín, a saber. porque no hay una definición consistente de giro. Por lo tanto, hay un mapeo de bosones a fermiones. Este artículo discute la equivalencia entre fermiones y bosones. En caso de que desee más discusiones, le recomendaría el gran libro de Giamarchi "Física cuántica en una dimensión". Encontrará mucho sobre los líquidos de Luttinger, la bosonización y hay una breve introducción a Bethe Ansatz, completa con excitaciones de baja energía.

Para más discusiones sobre el modelo de Heisenberg en 1D, me gusta mucho "La teoría del magnetismo simplificada", de Daniel Mattis. Sin embargo, en realidad no es tan simple.

Para conocer una relación entre los bosones y los fermiones en el contexto del modelo de Heinsenberg, consulte este artículo de Luscher donde analiza el antiferromagnético como una regularización reticular del modelo de Thirring que Coleman había demostrado que era equivalente al modelo de Sine-Gordon. Es posible que el caso de ferromagneto que le interesa también posea una relación similar.

La respuesta a la aparente contradicción de estas dos transformaciones (las excitaciones parecen ser bosónicas o fermiónicas) viene del hecho de que los espines no son equivalentes a los fermiones, porque tienen una cuerda unida a ellos, para respetar la naturaleza conmutativa de los espines en diferentes sitios, vea la transformación JW en wiki .

Por lo tanto, aunque el hamiltoniano se expresa en términos de fermiones (sin cadenas, que es una especificidad de los sistemas unidimensionales), las funciones de correlación de espín no son fermiónicas (las cadenas lo aseguran).

La excitación de espines es esencialmente bosónica, como también se puede ver en el mapeo exacto de espines a bosones intensos (no más de un bosón por sitio).

De hecho, a través de la fermionización, puede expresar sistemas bosónicos unidimensionales con un operador fermiónico, aunque las funciones de correlación respetarán las relaciones de conmutación bosónica, gracias nuevamente a las cuerdas unidas a los fermiones.

Hay una sutileza importante escondida en los términos de interacción de bosones de orden superior en la transformación HP. Si incluye términos de interacción para todos los órdenes, encontrará que en cualquier dimensión, un sistema de espín-1/2 es exactamente dual a un sistema de bosones de núcleo duro a través de la transformación HP. En una dimensión (solo), también es dual a un sistema de fermiones a través de la transformación JW. Al concatenar estas dos transformaciones como sugieres, encontramos que en una dimensión, los fermiones son exactamente equivalentes a los núcleos duros.bosones (y ambos son equivalentes a cadenas de espín-1/2). Heurísticamente, esto se debe a que no hay forma de entrelazar partículas de ningún tipo entre sí en 1D, por lo que no debemos preocuparnos por el signo menos del intercambio fermiónico. La bosonización aclara esta conexión: en 1D, las teorías bosónica y fermiónica se pueden mapear entre sí con relativa facilidad.

Por lo tanto, es solo una pregunta filosófica si las excitaciones de una cadena de espín-1/2 deben considerarse bosónicas o fermiónicas; ambas imágenes son útiles en diferentes contextos. En términos generales, la imagen bosónica suele ser más útil para los números porque el espacio de Hilbert tiene una estructura de producto tensorial más simple. La imagen fermiónica a veces es más útil para los cálculos analíticos porque los fermiones interactúan más débilmente (a veces incluso libres, como en el Ising transversal y$XY$cadenas). Por otro lado, a menudo usamos la bosonización para mapear sistemas fermiónicos a sistemas bosónicos con los que puede ser más fácil trabajar analíticamente. Y en el Bethe ansatz, las excitaciones bosónicas son mucho más naturales conceptualmente que las fermiónicas.