¿La experiencia de la luz Doppler se desplaza a lo largo y en contra del arrastre del marco?

Para responder a esto tenemos que empezar con la ecuación que describe la geometría alrededor de una masa giratoria esféricamente simétrica. Esta es la métrica de Kerr. Escribiré esto en su totalidad a continuación, que se verá bastante aterrador, pero para nuestros propósitos encontramos que la ecuación se simplifica mucho:

$$\begin{align} ds^2 &= -(1 - \frac{r_s r}{\rho^2})dt^2 \\ &+ \frac{\rho^2}{\Delta}dr^2 \\ &+ \rho^2d\theta^2 \\ &+ (r^2 + \alpha^2 + \frac{r_s r\alpha^2}{\rho^2}\sin^2\theta)\sin^2\theta d\phi^2 \\ &+ \frac{2r_sr\alpha\sin^2\theta}{\rho^2}dt d\phi \end{align}$$

Dónde:

$$\begin{align} r_s &= 2M \\ \alpha &= \frac{J}{M} \\ \rho^2 &= r^2 + \alpha^2\cos^2\theta \\ \Delta &= r^2 - r_sr + \alpha^2 \end{align}$$

en la ecuacion$J$es el momento angular del agujero negro,$r$es la distancia desde el centro del agujero negro,$\theta$es la latitud,$\phi$es la longitud y$t$es hora.

Esto se simplifica porque podemos suponer que todo el movimiento está en el plano ecuatorial, por lo que$\theta$es constante y por lo tanto$d\theta=0$y$\rho=r$. También consideraremos el momento en que la luz viaja tangencialmente a nuestro círculo de radio.$r$, entonces en este punto$dr\approx 0$. Por último para la luz$ds=0$, y todo esto simplifica la métrica a:

$$\begin{align} 0 &= -(1 - \frac{r_s}{r})dt^2 \\ &+ \left(r^2 + \alpha^2 + \frac{r_s \alpha^2}{r}\right) d\phi^2 \\ &+ \frac{2r_s \alpha}{r}dt d\phi \end{align}$$

Y finalmente$d\phi/dt$es solo la velocidad angular$\omega$entonces si dividimos por$dt^2$y reordenamos obtenemos:

$$0 = \left(r^2 + \alpha^2 + \frac{r_s \alpha^2}{r}\right) \omega^2 + \frac{2r_s \alpha}{r}\omega - (1 - \frac{r_s}{r}) \tag{1}$$

Y esa es la ecuación que necesitamos. Hagamos una verificación de cordura rápida y tomemos el límite no giratorio, es decir, establecido$\alpha = 0$. La ecuación (1) nos da inmediatamente:

$$r \omega = v = \pm \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}$$

¡Cuál es la respuesta correcta! Obtenemos dos valores para$\omega$con magnitudes iguales y signos opuestos correspondientes a los dos haces de luz que van en direcciones opuestas. Entonces los dos rayos tienen velocidades idénticas.$v = \sqrt{1 - r_s/r}$(nota que estamos usando unidades donde$c=1$). La velocidad de la luz se reduce por un factor de$\sqrt{1 - r_s/r}$debido a la dilatación del tiempo.

OK, por lo tanto tranquilo, volvamos a la ecuación (1) y resolvámoslo para una rotación distinta de cero, es decir$\alpha \ne 0$. La ecuación es solo una cuadrática y la fórmula cuadrática nos da:

$$\omega = \frac{-\frac{r_s \alpha}{r}}{\left(r^2 + \alpha^2 + \frac{r_s \alpha^2}{r}\right)} \pm \frac{\sqrt{ \left(\frac{r_s \alpha}{r}\right)^2 + \left(r^2 + \alpha^2 + \frac{r_s \alpha^2}{r}\right)(1 - \frac{r_s}{r})}}{\left(r^2 + \alpha^2 + \frac{r_s \alpha^2}{r}\right)}$$

No propongo llevar el álgebra más lejos, pero ahora debería ser inmediatamente obvio que nuestros dos valores para la velocidad angular no son iguales. Se diferencian por:

$$\omega_+ - \omega_- = 2\frac{-\frac{r_s \alpha}{r}}{\left(r^2 + \alpha^2 + \frac{r_s \alpha^2}{r}\right)}$$

Y esta diferencia es el efecto del arrastre del cuadro.

Podría decirse que no. Aquí está mi razonamiento:

Primero, tenga en cuenta que cuando habla de cambios de frecuencia en un entorno genérico de relativista general, debe especificar sus observadores (emisor y absorbente), así como la trayectoria del fotón. El cambio Doppler generalizado no es más que la diferencia en el componente de tiempo del momento del fotón medido en los dos marcos de referencia. Esto producirá un desplazamiento Doppler relativista especial, así como un desplazamiento hacia el rojo gravitacional y cosmológico (que pueden atribuirse fenomenológicamente a la dilatación del tiempo y la expansión espacial, respectivamente).

Ahora, hay dos órbitas de fotones circulares diferentes en el plano ecuatorial de un agujero negro de Kerr (cf. Wikipedia ), una prograda y otra retrógrada. Un observador sentado en coordenadas fijas de Boyer-Lindquist a lo largo de cualquiera de las órbitas siempre medirá la misma energía del fotón, sin importar con qué frecuencia el fotón haya dado la vuelta al agujero negro.

Sin embargo, cuando considera trayectorias más complicadas (por ejemplo, cuando comienza en un radio arbitrario y dispara fotones en direcciones opuestas alrededor del agujero), esta historia generalmente cambiará, pero ya no comparará manzanas con manzanas debido a las posiciones no equivalentes de los absorbentes. .