Esta respuesta explica cómo se puede formular el problema de una manera que incluya de forma natural y automática los efectos que enumeró. Asumiré una tierra esféricamente simétrica, que no gira, e ignoraré la influencia de otros cuerpos como la luna. Mostraré cómo configurar las ecuaciones y describiré cómo usarlas en principio, pero no las resolveré.

Los puntos en el espacio-tiempo se etiquetarán usando un sistema de coordenadas$t,x,y,z$. Podríamos describir el movimiento del cohete expresando tres de estas coordenadas como funciones de la otra, así:

$$x(t),\,y(t),\,z(t).$$ Un enfoque más general es especificar las cuatro coordenadas como funciones de un parámetro auxiliar$s$, como esto: $$t(s),\,x(s),\,y(s),\,z(s).$$ Esto define una línea de tiempo , una curva en el espacio-tiempo que representa la historia completa del cohete: dónde estuvo y cuándo estuvo allí.

Las coordenadas$t,x,y,z$son solo etiquetas convenientes para puntos en el espacio-tiempo. El tiempo realmente experimentado por un pasajero en el cohete se llama tiempo propio del cohete. $\tau$, que normalmente no es lo mismo que$t$. Toda esta formulación se basa en la siguiente ecuación, que dice cómo el tiempo adecuado$\tau(s)$en un punto dado$s$a lo largo de la línea del mundo está relacionado con las funciones$t(s),x(s),y(s),z(s)$que definen la línea del mundo:

$$\dot\tau^2=A(r)\dot t^2 - \frac{1}{A(r)}\dot r^2 - (\dot{\mathbf{x}}^2-\dot r^2)$$ con $$A(r) = 1-\frac{\kappa}{r}.$$ Un punto en la parte superior significa una derivada con respecto a$s$, como en$\dot \tau = d\tau/ds$. las abreviaturas $$\mathbf{x}=(x,y,z) \hskip1cm r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \hskip1cm \dot{\mathbf{x}}^2 = \dot x^2+\dot y^2+\dot z^2$$ también se utilizan. El constante$\kappa$es $$\kappa = \frac{2GM}{c^2},$$ dónde$G$es la constante de Newton,$M$es la masa de la tierra y$c$es la velocidad de la luz.
Esta ecuación de tiempo propio es válida para$r\geq R$, dónde$r=R$representa la superficie de la tierra. la desigualdad$R\gg\kappa$asegura que los denominadores en la ecuación de tiempo adecuada nunca sean cero fuera de la tierra. Dentro de la tierra, la ecuación es diferente, pero no la necesitaremos aquí.

Esta ecuación del tiempo propio especifica implícitamente el campo métrico , la geometría del espacio-tiempo, externo a la tierra. Este campo de métrica en particular se llama la métrica de Schwarzschild . Escribí la ecuación del tiempo propio aquí usando$x,y,z$coordenadas en lugar de las coordenadas "esféricas" más tradicionales (que irónicamente oscurecen la simetría esférica). La forma en que lo escribí, la combinación$\dot{\mathbf{x}}^2-\dot r^2$corresponde a la habitual "parte angular" de la métrica.

Ahora, supongamos que un transmisor está fijo en algún lugar de la superficie de la tierra, digamos en$\mathbf{x}=(R,0,0)$. Este transmisor es un objeto con su propia línea de tiempo, que podemos parametrizar como$t(s)=s$y$\mathbf{x}(s)=(R,0,0)$. Esto implica$\dot t = 1$y$\dot{\mathbf{x}} = (0,0,0)$. Úselos en la ecuación de tiempo propio para obtener este resultado para el tiempo propio del transmisor :

$$\dot\tau_T^2 = 1-\frac{\kappa}{R},$$ donde el subíndice$T$significa "transmisor". El lado derecho es una constante (independiente de$s$), entonces esto dice que$\tau_T$es proporcional a$s$, que a su vez es proporcional a$t$.

Hasta ahora, tenemos la hora adecuada del transmisor.$\tau_T$, y sabemos cómo determinar el tiempo propio del cohete$\tau_R$en cualquier punto$s$a lo largo de la línea de tiempo del cohete, cualquiera que sea esa línea de tiempo. (La única restricción en la línea de mundo del cohete es que el lado derecho de la ecuación del tiempo propio debe ser positivo, por lo que la línea de mundo es similar al tiempo ).

El reto pendiente es relacionar$\tau_R$a$\tau_T$.

Podemos hacer esto usando líneas de tiempo que representan el viaje de la luz emitida por el transmisor. Si supiéramos la línea de tiempo de cada "pedazo de luz" que sale del transmisor, entonces podríamos relacionarnos$\tau_R$a$\tau_T$así: para cualquier punto dado$t,x,y,z$a lo largo de la línea mundial del cohete, elija la línea mundial de la pieza de luz que pasa por ese punto y también pasa por la ubicación del transmisor$\mathbf{x}=(R,0,0)$. Solo una línea de mundo de pieza de luz puede hacer esto, por lo que determina el valor específico de$\tau_T$cuando esta "pieza de luz" debe haber dejado el transmisor para llegar al punto especificado a lo largo de la línea mundial del cohete . De esta forma, por cada valor del tiempo físico del cohete$\tau_R$, podemos determinar el valor del tiempo físico del transmisor$\tau_T$cuando ese "pedazo de luz" fue emitido. En otras palabras, ahora tenemos$\tau_T$como una función de$\tau_R$, escrito$\tau_T(\tau_R)$. Si la señal que sale del transmisor es$\sin(\omega\tau_T)$de acuerdo con el reloj del transmisor, entonces la señal que llega al cohete es

$$\sin\big(\omega\,\tau_T(\tau_R)\big)$$ de acuerdo con el reloj del cohete, donde esta última expresión se considera como una función (probablemente complicada) de$\tau_R$. Este es el efecto Doppler total , incluido el efecto de la velocidad del cohete, el efecto de la aceleración del cohete y el efecto de la gravedad terrestre. El mensaje clave aquí es que no debemos pensar en estos como efectos separados , y no necesitamos preguntarnos si esta lista de efectos separados está completa, porque naturalmente derivamos la respuesta completa en un solo paquete ordenado.

Todavía tenemos que abordar una última cosa: ¿Cómo sabemos qué líneas de mundo representan el viaje de un "pedazo de luz"? Usando el principio descrito en la sección 3.19 de General Relativity: An Introduction for Physicists , podemos derivar el siguiente resultado a partir de la misma ecuación de tiempo propio que se destacó anteriormente. El resultado dice que la línea de tiempo de cualquier objeto en caída libre , ya sea que el objeto sea una "pieza de luz" o un cohete con el motor apagado, satisface un par de ecuaciones que se ven así:

$$\ddot{\mathbf{x}}=-\frac{\kappa}{2}\,\frac{\mathbf{x}}{r^3} \big(b + 3(\dot{\mathbf{x}}^2 - \dot r^2)\big) \hskip1cm \left(1-\frac{\kappa}{r}\right)\dot t = \text{constant},$$ dónde$b\geq 0$es una constante que depende de cómo se parametriza la línea de universo. (Estas ecuaciones son válidas para cualquier parametrización afín ). Para representar una "pieza de luz", simplemente configure$b=0$. No mostraré la derivación de estas ecuaciones de caída libre aquí, porque eso duplicaría la longitud de esta publicación que ya es larga.

Definiciones

Comencemos con las definiciones, ya que hay muchos términos/símbolos que no son comúnmente utilizados por nadie fuera de la comunidad de cronometraje GPS . La mayoría de estas notas y comentarios están tomados de Ashby [2003] y Zhang et al. [2006].

• receptor$\equiv$estación que recibe la señal del transmisor de la nave espacial (subíndice r)
• satélite$\equiv$objeto en órbita que está transmitiendo señal (subíndice o superíndice s)
• LOS$\equiv$línea de visión
• J2 ₌ 1,0826300 x 10 ^-3 $\equiv$Segundo armónico zonal de la Tierra .
• $P_{2}(x) = \tfrac{1}{2} \left( 3 x^{2} - 1 \right)$ $\equiv$ Polinomio de Legendre de grado dos
• ae = _6378.137 kilometros$\equiv$semi-eje mayor del elipsoide del Sistema Geodésico Mundial
• un _orbe $\equiv$semi-eje mayor de la órbita del satélite
• B$\equiv$latitud del receptor
• || r ||$\equiv$distancia del centro de la Tierra al receptor
• GM = 3.986004418 x 10 ¹⁴ m ³ s ^-2 $\equiv$producto de la masa de la Tierra por la constante gravitatoria newtoniana
• $\Phi_{o}/c^{2}$= 6,969290134 × 10 ^-10 $\equiv$potencial del geoide (ver PDF de referencia IERS )
• tu _{_} $\equiv$Potencial gravitatorio newtoniano (solo atracción de masas) en la ubicación del receptor (consulte la Ecuación 1 a continuación)
• nosotros ^_ $\equiv$Potencial gravitatorio newtoniano (solo atracción de masa) en la ubicación del satélite (está bien, trata a la Tierra como una masa puntual)
• $\mathbf{v}_{r}$ $\equiv$velocidad del receptor relativa a LOS de receptor a satélite
• $\mathbf{v}^{s}$ $\equiv$velocidad del satélite relativa a LOS de receptor a satélite
• $\mathbf{n}_{r}^{s}$ $\equiv$vector unitario LOS de receptor a satélite
• $f_{o}$ $\equiv$frecuencia nominal de la señal del satélite
• $f_{r}$ $\equiv$frecuencia de la señal en el receptor del satélite

Efectos Doppler

Primero definimos el potencial gravitatorio en el receptor, dado por:

$$U_{r} = - \frac{ G M }{ \lVert \mathbf{r} \rVert } \left[ 1 - \left( \frac{ a_{e} }{ \lVert \mathbf{r} \rVert } \right)^{2} \ J_{2} \ P_{2}\left( \sin{B} \right) \right] \tag{1}$$

Ahora podemos definir la frecuencia recibida de un satélite en órbita como:

$$f_{r} = f_{o} \left[ 1 + \frac{ - U_{r} + v_{r}^{2}/2 + \Phi_{o} + 2 G M/a_{orb} + 2 \ U^{s} }{ c^{2} } \right] \ \left[ \frac{ 1 - \left( \mathbf{n}_{r}^{s} \cdot \mathbf{v}_{r} \right)/c }{ 1 - \left( \mathbf{n}_{r}^{s} \cdot \mathbf{v}^{s} \right)/c } \right] \tag{2}$$

Técnicamente, esto está en un marco de referencia no inercial y el$v_{r}^{2}/2$debe incluir efectos centrífugos tales que la Ecuación 2 va a:

$$f_{r} = f_{o} \left[ 1 + \frac{ - U_{r} + \left(\omega^{2} \ \cos^{2}{B} \ \lVert \mathbf{v}_{r} \rVert^{2}\right)/2 + \Phi_{o} + 2 G M \left(a_{orb}^{-1} - \lVert \mathbf{r}^{s} \rVert^{-1} \right) }{ c^{2} } \right] \ \left[ \frac{ 1 - \left( \mathbf{n}_{r}^{s} \cdot \mathbf{v}_{r} \right)/c }{ 1 - \left( \mathbf{n}_{r}^{s} \cdot \mathbf{v}^{s} \right)/c } \right] \tag{3}$$ dónde$\omega$es la velocidad angular de rotación de la Tierra.

Advertencias

Hay otros errores que entran en juego, como el índice de refracción sin vacío de la magnetosfera , la ionosfera y la atmósfera entre el satélite y el receptor. También hay errores/incertidumbres en los relojes del satélite y del receptor [p. ej., Ashby , 2003; Zhang et al. , 2006].

Referencias

• Ashby, N. "La relatividad en el sistema de posicionamiento global", Living Rev. Relativity 6 , 2003, artículo en línea, https://link.springer.com/article/10.12942/lrr-2003-1 . Consultado el 26/10/2018
• Zhang, J., et al. , "Sobre el efecto Doppler relativista para la determinación precisa de la velocidad usando GPS", J. Geodesy 80 , pp. 104--110, 2006.